[工学]自动控制原理第二章数学模型.ppt

分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。 系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各中间变量之间关系的数学表达式。 建立数学模型的方法分为解析法和实验法 §2.2系统微分方程的建立 基本步骤： 分析各元件的工作原理，明确输入、输出量和中间变量。 做出合乎实际的假设，简化问题。 列出各部分原始方程，建立输入、输出量的动态联系。 消去中间变量。 标准化微分方程。 § 2.2.2 机械系统举例 例2.1 设有一弹簧?质量? 阻尼动力系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动，试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的动态方程。其中弹簧的弹性系数为k，阻尼器的阻尼系数为f，质量块的质量为m。 §2.2.3电路系统举例 例2.2 列写如图所示RC网络的微分方程。 §2.2.3电路系统举例 例2.3 列写如图所示RLC网络的微分方程。 §2.2.4 电枢控制直流电动机举例 §2.2.5实际物理系统线性微分方程的一般特征 §2.4传递函数（Transfer Function ）一、Laplace变换 1、 Laplace变换 变换是数学上经常运用的一种技术手段。 如：初等数学中的对数求解方法 设： 令： 求得： 反对数： 一、Laplace变换 Laplace变换是一种函数变换 拉普拉斯变换的定义： 设函数 若满足： （1）当 时， （2）当 时，实函数 的积分 在s的某一域内收敛，则定义的 拉普拉斯变换为 并记作，其中算子s是一复数. 一、Laplace变换 称为 的像函数； 称为 的原函数. 2. Laplace反变换 记为： 一、Laplace变换 2. 常用函数的拉氏变换式 A）阶跃函数 反变换： B）指数函数 反变换： 一、Laplace变换 C）正弦函数和余弦函数 根据尢拉公式可将正弦化成指数函数形式，即 一、Laplace变换 D） t的幂函数 当n=1时， 其它见p441附表 一、Laplace变换 3. Laplace变换的主要运算定理 A) 叠加定理 两个函数之和的拉氏变换等于两个函数的拉氏变换式之和.即若 则 或写成 一、Laplace变换 B) 比例定理 若 则 C) 微分定理 若 则 一般情况下： 初始条件=0时 一、Laplace变换 D）延迟定理 若 ，则 该定理说明如果时域函数 平移， 则相当于复域中的像函数乘以 。 一、Laplace变换 E）终值定理 若函数 及其一阶导数都是可拉氏变换 的，则 的终值为 因此，利用 终值定理可以从像函数直接求出原函数 在 时的稳态值。 说明 的稳态性质同 的临域内 的性质一样。 一、Laplace变换 F）初值定理 若函数 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则 的初值为 证明从略。 二、Laplace反变换 二、Laplace反变换 a. F(s)有不相同的极点 式中， 是常值， 为极点处的留数。 值可用 乘方程式（1）的两边，并令 来求出，即 注意到 二、Laplace反变换 于是得到的如下形式 二、Laplace反变换 例1： 求 的拉氏反变换。 解： 求 于是 二、Laplace反变换 b. F(s)含有共轭复极点 例2 解： 一、传递函数的概念与定义 二、关于传递函数的几点说明 1、传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉氏变换导出； 2、传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、输出无关； 3、传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；（可定义传递函数矩阵） 三、传递函数举例说明 例1. 如图所示的RLC无源网络，图中电感为L（亨利），电阻为R（欧姆），电容为C（法），试求输入电压ui(t)与输出电压uo(t)之间的传递函数。 四、零极点和传递系数对系统性能的影响 一个控制系统的性能是否满足要求，要通过其解的特征来评价。传递函数是一个函数，可以利用解的对应关系，在s域进行评价系统的性能。当传递函数是有理函数时，其全部信息又都集中表