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第十章 数学形态学 10.3膨胀和腐蚀 膨胀和腐蚀是形态学中的两个基本操作，其他的操作都是建立在这二者的组合基础上的。 一、膨胀 假设A和B是像素的集合。则A被B膨胀记为 定义为 这个式子的意思是对每一个属于B的像素点x，我们用这个坐标对A作平移。而后取这些平移的并集。等价的定义式为 开运算的几何解释 AoB 的边界通过B中的点完成。 ?? B在A的边界内转动时，B中的点所能到达的A的边界的的最远点 (a)Y为某常数时的图像界面 (c）b在f下方滑动 (d)开运算结果 (b)球形结构元素b的界面 或者可以这样理解：采用该结构元素对目标图像进行开运算的过程是： 在目标图像下方滑动结构元素时，在每 一点记录结构元素上的最高点，则由这些 最高点构成的集合即为开运算的结果。 也可以这样想，B对A的开运算就是将B在A内平移，所有B中元素完全与A重合的位置处将B中的所有点标记起来，这样得到的结果就是开运算的结果。 开操作的3条性质 ??（1） AoB是A的子集合 ?? （2）如果C是D的子集，则CoB是DoB的子集 ?? （3） (AoB)oB= AoB * 数学形态学进行图像处理的基本思想是：用具有一定形态的结构元素探测目标图像，通过检验结构元素在图像目标中的可放性和填充方法的有效性，来获取有关图像形态结构的相关信息，进而达到对图像分析和识别的目的。 10.1引言 10.2 基本符号和术语 1. 元素和集合 在数字图像处理的数学形态学运算中，把一幅图像称为一个集合。对于二值图像而言，习惯上认为取值为1的点对应于景物中心，用阴影表示，而取值为0的点构成背景，用白色表示， 这类图像的集合是直接表示的。考虑所有值为1的点的集合为A， 则A与图像是一一对应的。对于一幅图像A，如果点a在A的区域以内， 那么就说a是A的元素，记为a∈A，否则，记作a∈A， 如所示。 2. 交集、 并集和补集 两个图像集合A和B的公共点组成的集合称为两个集合的交集， 记为A∩B，即A∩B={a｜a∈A且a∈B}。两个集合A和B的所有元素组成的集合称为两个集合的并集，记为A∪B，即A∪B={a｜a∈A或a∈B}。对一幅图像A，在图像A区域以外的所有点构成的集合称为A的补集，记为A，即A={a｜a ∈ A}。 交集、并集和补集运算是集合的最基本的运算，如图所示。 集合的差 或 集合的差 3、集合的反射和平移 (1) 集合的反射 由集合A中所有元素相对于原点的反射元素组成的集合称为集合A的反射，记为 。 其中，x表示集合A中的 元素a对应的反射元素。 集合的反射图示 (2) 集合的平移 由集合A中所有元素平移y=(y1，y2)后组成的元素集合称为集合A的平移，记为 。 其中，x表示集合A中的元素a平移y后形成的元素。 集合的平移图示 根据上面的定义，膨胀满足交换率，即 具体例子见下图 A B A（1，1） A（-1，1） A（1，-1） A（-1，-1） 一般来说，A被B膨胀可以通过将A中的各个像素（x，y） 用B的复制来代替，就是将B的中心代替原来的（x，y）。 这等价于用A的副本来代替B中的像素（u，v）。 膨胀又被称为明克夫斯基加法。 我们通过上面的例子可以看到膨胀可以扩大目标的尺寸。但是，原目标物A不一定位于膨胀之后的区域内。上图是A位于膨胀区域内的例子。如果 B=｛（7，3），（6，2），（6，4），（8，2）， （8，4）｝ 则运算后的结果 B 膨胀时我们一般假设A是被处理的图像，而B是小的像素集合，B一般被称为结构元素或核心。 在MATLAB中实现膨胀运算一般用imdilate t=imread(text.tif); sq=ones(3,3); td=imdilate(t,sq); subplot(1,2,1),imshow(t) subplot(1,2,2),imshow(td) 膨胀应用举例 桥接文字裂缝 优点：在一幅二值图像中直接得到结果，对比低通滤波方法 二、腐蚀 假设A和B是像素的集合。则A被B腐蚀记为 定义为 腐蚀运算的含义是：每当在目标图像A中找到一个与结构元素B相同的子图像时，就把该子图像中与B的原点位置对应的那个像素位置标注为1，图像A上标注出的所有这样的像素组成的集合，即为腐蚀运算的结果。 简而言之，腐蚀运算的实质就是在目标图像中标出那些与结构元素相同的子图像的原点位置的像素。