[工学]第六章_最优控制2009.ppt

练习 系统状态方程为 ，初始条件 指标泛函 试求最优控制u(t)，使J有极小值 6-8 极小值原理 设状态方程为： 初始条件为 ，终态 满足终端约束方程 式中，N——m维连续可微的矢量函数， 。 控制 受不等式约束 式中，g—l 维连续可微的矢量函数， 。 性能泛函 6-8 极小值原理 Why? 保证g ≥0，表示成约束方程 控制函数 为连续函数 6-8 极小值原理 6-8 极小值原理 分部积分 6-8 极小值原理 类似有 欧拉方程 横截条件 6-8 极小值原理 6-8 极小值原理 在最优轨迹上，最优控制时最小 注意已在最优轨迹上。此时把H看成只有一个变量u，u使H取极值 最优控制 保证哈密尔顿函数取全局最小值，所谓“极小值原理”一词正源于此。在证明这一原理的过程中，如果定义 与 的符号恰好与上面相反 ，可得结论 因此在有些文献中亦称“极大值原理”。 [例6-13] 设系统的状态方程为 控制约束 求 使 解：由哈密尔顿函数 当 时应取 （上界） 时应取 （下界） 根据极小值原理，求H极小值等效于求泛函极小，这只要使 为极小即可。u的上界为1，下界为1/2，因此 由协态方程 得 其解为 求 以确定u的切换点 当 时 故 切换点：令 ，得 ，对应 ， ，对应 ， 求状态轨线 解状态方程 当 时 得 考虑 故 当 时 得 考虑第一段得终值 为第二段初值，故 求 各有关曲线如图6-14所示。 泛函极值—可变端点问题 确定最优轨线和最优时刻 时间改变造成的部分 在第二项中，只考虑时间变分影响的部分，不考虑函数变分的影响 函数和时间均有变分。由于用同一 ，显然 相关 等号右边第一项 等号右边第二项 对上式被积函数的第二项分步积分 连续系统最优控制问题 连续系统最优控制问题 分部积分 连续系统最优控制问题 Or运用多变量情况下欧拉方程直接推导 求相对于最优控制 和最优轨线 的变分为 系统的约束方程 连续系统最优控制问题 连续系统最优控制问题 连续系统最优控制问题 连续系统最优控制问题 连续系统最优控制问题 连续系统最优控制问题 二. 波尔扎问题 系统状态方程 初始状态 ，终始状态 满足 分部积分 有哪些结构允许的变化？ 考虑相对于最优控制 最优轨线 和 的变分 由状态方程得到 边界条件 终端时刻由下式计算 例6-11 例6-12 系统的状态方程为 性能指标 求最优控制 和末值时刻 ，使性能指标泛函取极小值 解 1） 构造哈密顿函数 2）由控制方程 ，得 或 3）由伴随方程 4）将 代入状态方程 解为 其中， 、 为积分常数，由 ， 确定，得 5）由于 自由， ，得到 或 解得 末值状态 初始状态 性能指标 电动机的运动方程为 1）哈密顿函数为 2）由控制方程得到 即 3）由伴随方程 ，得到 （ ， 为积分常数） 4）由状态方程得 （ ， 为积分常数） 根据边界条件，确定积分常数，得 代入 和 * 第6章 最优控制 最优控制是控制系统设计的一种方法。它所研究的中心问题是如何选择控制信号，才能保证控制系统的性能在某种意义下最优。 本章内容为： 变分法求解最优控制问题 极小值原理及其应用 二次型最优控制 6.1 引言 什么是最优控制？以下通过直流他励电机的控制问题来说明 问题1 电动机的运动方程为 其中， 为转矩系数； 为转动惯量； 为恒定的负载转矩； 要求：在时间区间[0，tf]内，电动机从静止起动，转过一定角度 后停止，使电枢电阻 上的损耗