[工学]第三章 时域分析法.ppt

第六节 控制系统的稳定性 一、稳定性定义 定义：设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。 线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。 基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。 第三章 时域分析 控制工程基础 二、稳定的条件 ? 闭环控制系统的全部特征根都具有负实部；反之，若有一个或一个以上具有正实部，则系统为不稳定。 1、 闭环系统的全部极点均位于[s]平面的左半平面，则系统稳定； 2、若至少有一个极点位于[s]平面的右平面，则系统不稳定； 3、若有部分极点位于虚轴上，其余在左半平面，则系统记为临界稳定，即趋于等幅谐波振荡，在工程上认为这种情况亦为不稳定。 第三章 时域分析 控制工程基础 Routh早在1884年就提出了一种避免求解特征方程的根，而通过根与系数的关系来讨论特征根的分布。 1、系统稳定的必要条件 (1)特征方程的各项系数都不等于零； (2)特征方程的各项系数的符号相同。 三、 Routh判据? 第三章 时域分析 控制工程基础 2、系统稳定的充要条件 设系统特征方程为： (1) 列形式列写Routh表： 第三章 时域分析 控制工程基础 ?(2)对Routh表进行计算： 第三章 时域分析 控制工程基础 式中： 第三章 时域分析 控制工程基础 (3)若劳斯计算表中，第一列各元素的符号都相同，系统是稳定；若第一列各符号不同，则系统是不稳定的，其各符号依序改变的次数，等于正实部特征根的个数。 系统稳定的充要条件： Routh表中第一列各元素的符号均为正且值不为零。 第三章 时域分析 控制工程基础 【补例3-5】设系统的特征方程为： 由于第一列各元素符号改变次数为2，所以系统不稳定，且有两个不稳定的根。 试判断系统稳定性。 解：由于其系数符号不同，不满足稳定的必要条件，系统不稳定。 第三章 时域分析 控制工程基础 例2：设某系统的特征方程如下： 试确定待定参数 及 ，以便使系统稳定。 解 根据特征方程列写劳斯表： 第三章 时域分析 控制工程基础 要使系统稳定，则第一列元素为正，有 解得： 0 1 第三章 时域分析 控制工程基础 四、劳斯判据的特殊情况? 1、特殊情况一 如果在Routh表中，某一行的第一个元素为零，而该行又存在非零元素时。 处理： 用一个很小(任意小)正数来代替这一零元素，然后计算Routh表。 结论： (1)第一列元素符号改变的次数为不稳定根的个数； (2)第一列元素符号不改变，系统为临界稳定。 第三章 时域分析 控制工程基础 例： 解： 可见，系统有两个不稳定根。 实际上，系统的特征方程为： 即系统有 的重根。 第三章 时域分析 控制工程基础 2、 特殊情况二 如果Routh计算表的任意一行中的所有元均为零时。 处理： 由全零元素上一行元素列写辅助方程式，对辅助方程两端求导，再将辅助方程求导后的方程系数代替全零行的元素，继承进行劳斯表计算。 第三章 时域分析 控制工程基础 结论： 1、存在两个符号相异，绝对值相同的实根； 2、存在一对共轭纯虚根； 3、存在实部符号相异，虚部数值相同的两对共轭复数根。 第三章 时域分析 控制工程基础 第三章 时域分析 控制工程基础 1、上升时间 响应曲线从原始工作状态出发，第一次达到输出稳态值所需的时间定义为上升时间。 有些系统没有超调，理论上到达稳态值的时间要无穷大，因此，将上升时间定义为响应曲线的稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。 第三章 时域分析 控制工程基础 即： 解得： 第三章 时域分析 控制工程基础 2 、峰值时间 阶跃响应曲线达到第一个峰值，所需的时间为峰值时间,由于： 第三章 时域分析 控制工程基础 3 、最大超调量 Mp 响应曲线的最大峰值与稳态值的差，即： 解得： 近似绘出阻尼比—最大超调量的曲线如3-3-7图，超调量Mp仅仅与阻尼比有关。 图3.3.7 第三章 时域分析 控制工程基础 4、调整时间 响应曲线达到并永远保持在允许误差范围内的时间，也称作稳态时间或称作建立时间。设 为指定的误差允许限。由定义有： 在 之后，有 第三章 时域分析 控制工程基础 得：