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自动控制原理 第四章 根轨迹法 主要内容 行动导入 第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 第三节 利用根轨迹分析系统的性能 第四节 用MATLAB绘制系统的根轨迹 1、教学内容： （1）绘制根轨迹图的基本条件 （2）绘制根轨迹图的规则和方法 （3）控制系统的根轨迹法分析 2、重点、难点 重点：绘制根轨迹图的基本条件，控制系统的根轨迹法分析 难点：控制系统的根轨迹法分析 3、教学基本要求： 掌握基本概念：根轨迹、零极点、主导极点、偶极子。了解基本方法：根轨迹草图的绘制。掌握基本规律：根轨迹方程及其应用；零极点分布与阶跃响应的关系。 （根轨迹绘制方法不要求逐条证明，重点在于应用） 引言 行动导入： 闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布。 其它性能取决于其零极点分布。 因此，可以用系统的零极点分布来间接地研究控制系统的性能。 W.R.伊文思提出了一种在复平面上由开环零极点确定闭环零极点的图解方法—根轨迹法。将系统的某一个参数（比如开环放大系数）的全部值与闭环特征根的关系表示在一张图上。 第四章 根轨迹法 第一节 根轨迹的基本概念 第四章 根轨迹法 第二节 绘制根轨迹的基本条件 和基本规则 一、绘制根轨迹基本条件 二、绘制根轨迹的基本规则 绘制根轨迹的基本规则 1、根轨迹的起点与终点 2、根轨迹的分支数 3、根轨迹的连续性与对称性 4、实轴上的根轨迹 5、根轨迹的渐近线 6、根轨迹的分离点与汇合点 7、根轨迹的起始角和终止角 起始角?p ：从开环复数极点出发的一支根轨迹，在该极点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。 8、根轨迹与虚轴的交点 9、闭环特征方程根之和与根之积 第四章 根轨迹法 第三节 利用根轨迹分析系统的性能 一、系统闭环零、极点位置与暂态响应的关系： 二、例：根轨迹 —— 系统性能 第四章 根轨迹法 第四节 用MATLAB绘制系统 的根轨迹 第一节 根轨迹的基本概念 根轨迹法是求闭环极点的图解方法，已知开环零、极点，研究某一参数变化对闭环极点的影响趋势。 三大分析校正方法之一 特点：（1）图解方法，直观、形象。 （2）适用于研究当系统中某一参数变化时， 系统性能的变化趋势。 （3）近似方法，不十分精确。 根轨迹：系统某一参数由0 → ∞变化时，l在s平面相应变化所描绘出来的轨迹。 R(s) C(s) -1 -2 0 ? j? -j -2j j 2j G(s) R(s) C(s) H(s) 1、根轨迹的起点和终点 2、根轨迹分支数 3、根轨迹的连续性和对称性 4、实轴上的根轨迹 5、根轨迹的渐近线 6、根轨迹的分离点 7、根轨迹的起始角和终止角 8、根轨迹与虚轴的交点 9、闭环特征方程根之和与根之积 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点， 若 m n 则有n-m 条根轨迹终止于无穷远处。 根轨迹的条数等于特征方程的阶次， 即等于闭环极点数，亦等于开环极点数。 根轨迹是连续的且对称于实轴。 闭环特征方程的根在开环零极点已定的情况下， 各根分别是K的连续函数； 特征方程的根为实根或共轭复数根。 仅需先画出S平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部由镜象求得。 满足相角条件的点都在根轨迹上。 向量相减： 根据相角条件确定实轴上的根轨迹。 j? ? p1 p2 p3 z1 s1 s1-z1 j? ? p1 p2 p3 z1 s2 例：已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。 [-1，-2] 右侧实零、极点数=3。 [-4，-6] 右侧实零、极点数=7。 若m n ,当 k →∞时有 n-m 条根轨迹沿着 n-m 条渐近线趋于s平面无穷远处。 关于实轴对称， 均分360° 分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开。 分离点必然是为D(s)某一数值时的重根点。 终止角?z：进入开环复数零点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。 与虚轴交点： 1）系统临界稳定点 2）s = jw 是根的点 1）应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值K’， 由K’值求出相应的ω值。 2）代数法 代入特征方程 联立求解， ?根轨迹与虚轴的交点ω值和相应的 临界K’值。 根之和： n-m ≥ 2时，闭环根之和保持一个常值。 根之和不变?K’增大，一些根轨迹分支向左移动，则一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。 系统性能 系统的开环零、极点位置 根轨迹 闭环极点位置 （1）系统的稳定性只取决于闭环极点的位置。 （2）如果闭环极点均为负实数，且无零点，则系统的暂态响应为非振荡的，响应时间取决于距离虚轴最近的极点，若其它极点距离虚轴的距离比最近极点的距离大5倍以上，