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专题三 三角形 1.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为( ) A.90° B.105° C.130° D.120° 2、如图3-11，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=___________. 3.如图3-12,在直角坐标系中，A(-3,4),B(-1,-2),O为原点，△AOB的面积 为 . 4.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135°, 那么这个多边形的边数最少为________. 5．如图3-13，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图形所示，C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1个平方单位，则点C的个数为 个. 6.如图3-14，用火柴杆摆出一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当摆到20层(n=20)时,需要 根火柴? 7．如图，已知点A在直线外，点B，C在直线上． ①点P是△ABC内一点，求证：∠P∠A； ②试判断在△ABC外，又和点A在直线同侧，是否存在一点Q，使∠BQC∠A，试证明你的结论． ⑴一个四边形截去一个角后就一定是三角形吗？画出所有可能的图形，并分别说出内角和和外角和变化情况． ⑵如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD四个顶点，现要建一个维修站O，为了使维修站到四口油井的距离和最小，试问这个维修站O建在AC，BD的交点处，理由是什么？ ．如图，凸六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB＝2cm，BC=8cm，CD＝11cm，DE＝6cm，你能求出这个六边形的周长吗？　　　　　 参考答案 1. C 2、540°。解析：连接∠4和∠5的顶点，可知7个角的和正好是五边形的内角和，根据多边形的内角和公式即可求出。 3.过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为C、D． 则S△AOB=S梯形BDCA△BOD-S△AOC =（BD+AC）·CD-BD·OD-AC·OC =×（1+3）×（4+2）-×1×2-×3×4 =5． 4. 9 5． 6 6. 630根 7． ①延长BP交AC于D，则∠BPC∠BDC，∠BDC∠A，故∠BPC∠A；②在直线l同侧，且在△ABC外，存在点Q，使得∠BQC∠A成立．此时，只需在AB外，靠近AB中点处取点Q，则∠BQC∠A．证明略；⑴不一定是三角形，可以是三角形、四边形或五边形；内角和与外角和变化略．⑵提示：假定维修站建在异于O点的E处，连结EA、EB、EC、ED，由三角形的两边之和大于第三边可证得，EA+EB+EC+EDOA+OB+OC+OD． ．解析：要求六边形的周长，必须先求出边EF和AF的长．由六边形ABCDEF的六个角都是120°，可知六边形的每一个外角的度数都是60°，如图4，如果延长BA，得到的PAF=60°，延长EF，得到的PFA=60°，两条直线相交形成三角形APF，在三角形APF中，P的度数为180°－60°－60°＝60°，因此三角形APF是等边三角形．同样的道理，我们分别延长AB、DC，交于点G，那么三角形BGC为等边三角形．分别延长FE、CD交于点H，则三角形DHE也是等边三角形．所以P=∠G=∠H=60°．所以三角形GHP也是等边三角形．于是我们得到三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP四个等边三角形．于是就把多边形的问题转化为和等边三角形有关的问题．利用等边三角形的三边相等的性质，可以轻松的求出AF和EF的长，从而求出六边形ABCDEF的周长．解：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P．　　因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，　　所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．　　所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等边三角形．　　所以GC=BC=8cm，DH=DE＝6cm．　　所以GH=8＋11＋6＝25cm，FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8＝15cm，EF=PH-PF-EH=25-15-6＝4cm．　　所以六边形的周长为2＋8+11+6+4+15＝46cm． 作 者 胡亚丽 责任编辑 庞保军 3 图3-15 图3-14 3-13图 图3-12 图3-11 C B A D O B A C 图3-17 图3-16 A x O B y P