探究圆锥曲线的一组统一性质.pdf

20 07 年第7 期 中学数学研究 探 究 圆 锥 曲 线 的 一 组 统 一 性 质 江苏连云港市教育局教研室 (22 200)6 寇恒清 圆锥 曲线有许多统一性质，这些性质 已经 分别作抛物线的切线，则这两切线交点尸的轨 成为近年来高考的热点之一 本文对圆锥 曲线 迹是这条抛物线的准线. ( 不包括圆) 中的一组统一性质进行一些初步的 我们可以将引理 1 类比到椭 圆与双 曲线， 探究. 从而得到如下结论: 一、探究 引理2 动直线 1过椭圆(双 曲线)M 的一 问题 1 动直线1过抛物线少二ZxP (P 个焦点F ，且与此椭圆(双 曲线) M 交于A ，B )0 的焦点F ，且与此抛物线交于A ，B 两点，以 两点，以A ，B 为切点分别作椭圆( 双 曲线) M A ，B 为切点分别作抛物线的切线，求这两切线 的切线，则这两切线交点P 的轨迹是与焦点F 交点尸的轨迹. 相对应的椭 圆(双 曲线)M 的准线. 解: 设直线 AB 的方程 引理2 可类似 问题 1 的求解过程进行证 明，这里从略. 将引理 1 与引理2 结合在一起， 为二一ym+音，两端点A， 我们就得到了关于圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛 B 的坐标分别为( x l ，yl ) ， 物线) 的一组统一性质: (xZ，yZ) ，则切线AP ，PB 定理 1 动直线2 过某圆锥 曲线M 的一个 的方程分别为yl y = P ( x l 焦点F ，且与曲线M 交于A ，B 两点，以A ，B + x ) ，yZy = p ( xZ + x ) ，由此可得 x 二 为切点分别作曲线M 的切线，则这两切线交点 X Zy l 一X l y Z ，1(ymZ+音)一yZ(yml+音) 尸的轨迹是与焦点F 相对应的曲线M 的准线. 二二 一 二二 可根据 圆锥 曲线的统一定义建立统一方 y Z 一 y l y Z 一 y l 2 程，然后类似 问题 1 的求解过程给出上述统一 一世)可以取 性质的一个统一证明. 一晋，，- 下面再从另一方面进行拓展，若将 问题 1 任意实数. 中的焦点F 改为其对称轴上的一定点D (0 ，t) 卫 (t )0 ，则同理可得如下结论: 故两切线交点尸的轨迹为直线x 二一 2 引理 3 动直线 1过定点D ( t ，0) ( t 0) ， 它是抛物线少=ZxP 的准线. 于是，我们得到如下结论: 且与抛物线少== ZxP (P )0 交于A ，B 两点， 以A ，B 为切点分别作此抛物线的切线，则这 引理 1 动直线2 过抛物线M