高等数学第十节第三章.ppt

二、三重积分的计算 例7 计算 解: 练习1 化 例7. 计算 2. 计算 3. 设?由锥面 例4. 计算三重积分 解: 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中?由抛物面 原式 = 3. 利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标. 直角坐标与球面坐标的关系 坐标面分别为 球面 半平面 锥面 如图所示, 在球面坐标系中体积元素为 因此有 其中 适用范围: 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离. 例1. 计算三重积分 其中? 为 板书 解 例4练. 计算三重积分 解: 在球面坐标系下 所围立体. 其中? 与球面 补充：利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性． 补充：利用对称性化简三重积分计算 例5. 设 计算 提示: 利用对称性 原式 = 奇函数 解 问：利用球面坐标？ 其中 * 第三节 一、三重积分的概念、性质（理解） 二、三重积分的计算（重点掌握) 三重积分 第十章 重点：三重积分的计算（利用直角坐标 、柱坐标、球坐标） 难点：坐标系的选择和三次积分的上下限的确定 一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 ? 引例: 设在空间有限闭区域 ? 内分布着某种不均匀的 物质, 求分布在 ? 内的物质的 可得 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 定义. 设 存在, 称为体积元素, 若对 ? 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在?上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 物理意义： 下列“乘 积和式” 极限 记作 ?实心体的体密度为 = ?实心体的质量 几何意义：被积函数恒等于1时，三重积分有几何意义 体的体积 三重积分的性质与二重积分相似. 性质1 函数和的积分、 例如 中值定理. 在有界闭域 ? 上连续, 则存在 使得 V 为? 的 体积, 性质2 数乘函数的积分、 性质4 被积函数恒为1的积分、 性质3 积分的可加性 性质5 比较积分大小 性质7 积分中值定理 性质6 估值定理 1.直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 如图， （写出不等式组） 得 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2. 三次积分 记作 仅一个次序：先z再y最后x的三次积分 另一个次序：先z再x最后y的三次积分 注意 其他次序？ 解 其中? 是由 例2. 已知 在第一卦限部分的区域 .求： 解: 及 (2)先对y积分； (3)先对x积分分别化成三次积分. (1)先对z积分，将? 向 坐标面投影 (2)先对y积分，将? 向 坐标面投影 (3)先对x积分，将? 向 坐标面投影 所围成的 (1)先对z积分； 是由曲面 例3. 化 解: 三次积分. 将? 向 坐标面投影 若将? 向 坐标面投影 若将? 向 坐标面投影 及平面z = 1 所围成的闭区域. 其中积分区域? 其中? 为三个坐标 例4. 计算三重积分 所围成的闭区域 . 解: 面及平面 其中?: 例5. 计算 解: 与坐标面所围成立体在第一卦限部分. 例6. 计算三重积分 解: 用“先二后一 ” 记作 所围成. 其中 ? 由 分析：若用“先二后一”, 则有 计算较繁! 采用“三次积分”较好. 所围, 故可 思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便? 表为 ? ?由 所围成的闭区域. 其中 ? 由 化为三次积分， 双曲抛物面 及平面 解 如图， 解 小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二” 方法2. “先二后一” 方法3. “三次积分” 具体计算时应根据 三种方法(包含12种形式)各有特点, 被积函数及积分域的特点灵活选择. （计算时将三重积分化为三次积分） 在直角坐标系下的体积元素 思考题 选择题:（与下页同） 将 用三次积分表示, 其中?由 所 提示: 思考与练习 六个平面 围成 , 2. 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 因此 其中 适用范围: 1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. 其中?为由 例1. 计算三重积分 所围 解: 在柱面坐标系下 及平面 柱面 成半圆柱体. 其中?为由 例2.