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第2章 完全信息静态博弈 电影《美丽心灵》中，有人向纳什提出了这样一个问题，问题的背景如下：在一个舞会上，有两个以上的男士，有比男士更多的魅力十足的女士，但只有一个金发女郎，男人开始邀请舞伴，但只能邀请一次请一个女郎作为舞伴，所有男士更喜欢金发女郎，但有女伴比无女伴要好，如果两个男士同时邀请一个女士，两人都会被拒绝。假设你作为一个男士，你会如何邀请舞伴？ 2.1 纳什均衡的定义 纳什均衡是博弈论中最重要的概念，各种非合作博弈模型的均衡概念都是建立在纳什均衡基础之上的。 纳什均衡是个策略组合 ，它满足两个要求。 1.对每个局中人 ，能够预期到对手采用策略组合 。 2.对每个局中人 ， 是他应对 的最好的策略。 纳什均衡的定义 定义2.1 设 为一具有完全信息的策略型博弈模型，称策略组合 为G的一个纳什均衡。如果对 是在 i的对手策略组合为 条件下局中人i的最优反应策略，即 或 对 。 如果以上不等式对严格成立，称 为 G 的严格纳什均衡。 2.2 有限扩展型博弈模型 博弈模型的构建 应用博弈论方法分析研究问题，首先要构造出博弈模型来，因而需要从大量的博弈活动中抽象出博弈模型的基本要素，对这些要素进行严格、准确的刻画后，形成博弈模型。 将博弈活动构造成博弈模型，需要了解以下6个方面的情况： 1.局中人； 2.外生事件的概率分布； 3.局中人选择行动的次序； 4.局中人所能选择的行动； 5. 局中人在选择行动时所了解的信息。 6.局中人的支付(收益)。 构造博弈模型所需要的要素 1.局中人集合 ，称 为局中人或参与人集合。 中元素称为参与人或局中人。参与人不专指人，它泛指参与博弈活动的政府、企业、地区、国家、个人……等决策主体。通常用“0”表示虚拟局中人，它的行为是以确定的概率分布进行随机选择， 表示实际参与人。 2.行动集合 称参与人 在博弈中所有可能选择的行动构成的集合 为局中人i的行动集合。 中的元素 称为局中人i 的行动。 局中人的行动集合可能是有限集，也可能是无限集。如果博弈活动中每个局中人的行动集合都是有限集，且每个局中人行动的次数也是有限的，称该博弈为有限博弈。 3.博弈树 对于有限博弈，可用博弈树直观地刻画它，如囚徒困境模型的博弈树如图1-7所示。 4. 支付向量 博弈树中终点Z下面的向量 称为支付向量，它的第 个分量表示博弈结束于Z时,局中人i所得的支付。支付可表示参与人的某种收益或损失。本书中的支付指收益、效用、利润等。正式地，支付向量是终点集合Z到n维向量集合 的映射。 5. 信息集与信息集分割 信息集由同一个局中人、在相同的时点上的具有相同信息的决策节点组成。用 表示局中人i的第k个信息集。它满足 （1） （ 表示空集）； （2）从博弈起始点到任一终点的路径至多与 交一点（描写同一信息集中的节点处于同一时点上）； （3）从 中的任一节点出发，局中人i可能选择的行动集合都相同（因为局中人在同一信息集的不同节点上具有相同的信息）。 在博弈树上，将属于同一信息集的节点用虚线框在一起。 称 为局中人 的信息集类（在数学上，称以集合为元素的集合为类）。 称 为信息集分割。 有限扩展型博弈模型的定义 定义1.1 称 为有限扩展型博弈模型。其中N为参与人集合，Y为博弈树，U为支付向量，I为信息集分割，q为外生事件