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高一数学竞赛选拔考试试卷及参考答案 （时间：80分钟 满分：100分） 班级 姓名 得分 一、填空题（每小题8分，共40分） 1．定义集合运算：．设，， 则集合中所有元素和是 答案：14； 因为，所以． 2．设，函数，则的取值范围是 答案：； 若，则； 若，则，； 若，则； 故． 3．已知定义在R上的奇函数在区间上是增函数，且函数的图像关于直 线对称；若方程在区间上有6个不同的实根 ，则 答案：； 由奇函数的性质可知：当函数有对称轴时，必有对称轴，又知区间 关于直线对称，所以6个不同实根的分布也是关于直线对称； 不妨设，则有与、与、与都关于直线对 称，从而，，，所以和为． 4．若抛物线与轴交于整点，则抛物线的对称轴方程是 答案：； 5．在中，，，在边上取一点，使各得， 在边上取一点，使得，则的度数是 二、解答题（每小题20分，共60分） 6．（本题每1小问10分，共20分） 如图，在凸四边形中，，分别为 的中点；求证：（1）四点共圆；（2）． 7．抛物线）交轴于点A，0）、B（30）交y轴于点C顶点为D以BD为直径的⊙M恰好过点C求抛物线的解析式；抛物线上是否存在点P使△PBD为直角三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由． ．的图像经过点，且不等式对 一切实数都成立；（1）求函数的解析式；（2）若对一切，都有不等式： 恒成立，求实数的取值范围． 3