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上海交通大学冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（本大题共40分，每题4分） 1．三次多项式f(x)满足f(3)＝2f(1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为____．2．用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S的最大值是_____．3．已知，x+2y＝1，则的最小值是______________．4．有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，则这四个数是___________________．5．已知f(x)(ax7+bx5+x2+2x(1，f(2)((8，则f((2)(_______________．6．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________．7．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为________________个部分．8．有n个元素的集合分为两部分，空集除外，可有___________种分法．9．有一个整数的首位是7，当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是___________．10．100!末尾连续有______________个零． 二、解答题（本大题共60分，每题10分） 11．数列{an}的a1(1，a2(3，3an+2(2an+1+an，求an和．12．3个自然数倒数和为1．求所有的解．13．已知x1000+x999(x+1)+…+(x+1)1000，求x50的系数．14．化简：(1) ； (2) ．15．求证：为最简分式．16．证明不等式，当自然数n≥6时成立．一、填空题(本大题共80分，每题8分) 1．函数，当x=1时，，则f(x)＝________________．2．方程x2+(a(2)x+a+1(0的两根x1,x2在圆x2+y2(4上，则a(_______________． 3．划船时有8人，有3人只能划右边，1人只能划左边，共有________种分配方法． 4．A＝{x|log2(x2(4x(4)0}，B＝{x||x+1|+|x(3|≥6}，则=_______________． 5．数列{an}的前n项和为Sn，若ak=k·pk(1(p),(p≠1)，则Sk＝____________． 6．若(x(1)2+(y(1)2(1，则的范围是___________________． 7．边长为4的正方形ABCD沿BD折成60o二面角，则BC中点与A的距离是____． 8．已知|z1|(2，|z2|(3，|z1+z2|(4，则(______________． 9．解方程，x＝________________． 10．(a0)，＝______________． 二、解答题(本大题共120分) 11．已知|z|＝1，求|z2+z+4|的最小值．12．a1,a2,a3,…,an是各不相同的自然数，a≥2，求证：．13．已知，，求的值．14．一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数(x0)的图象上，求此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值．15．一圆锥的底面半径为12，高为16，球O1内切于圆锥，球O2内切于圆锥侧面，与球O1外切，，以次类推，(1) 求所有这些球的半径rn的通项公式；(2) 所有这些球的体积分别为V1,V2,…,Vn,…．求．16．已知数列{an}的前n项和为Sn，，求S2003．17．定义闭集合S，若，则，．(1) 举一例，真包含于R的无限闭集合．(2) 求证对任意两个闭集合S1,S2R，存在，但．一、填空题 1．f(x)是周期为2的函数，在区间[(1,1]上，f(x)(|x|，则(___(m为整数)．2．函数y(cos2x(2cosx,x∈[0,2(]的单调区间是__________________．3．函数的值域是__________________．4．5．函数y＝f(x)，f(x+1)(f(x)称为f(x)在x处的一阶差分，记作△y，对于△y在x处的一阶差分，称为f(x)在x处的二阶差分△2y，则y＝f(x)＝3x·x在x处的二阶差分△2y(____________．6．7．从1～100这100个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是______．8．正四面体ABCD，如图建立直角坐标系，O为A在底面的投影，则M点坐标是_________，CN与DM所成角是_________．9．双曲线x2(y2＝1上一点P与左右焦点所围成三角形的面积___________． 10．椭圆在第一象限上一点P(x0,y0)，若过P的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是_________． 二、解答题 11．不等式对于任意x∈R都成立，求k的取值范围．12．不动点，．(1) ,3为不动点，求a,b,c的关系；(2) 若，求f(x)的解析式；(3)13．已知，(1) 求y的最小值；(2)