⑥竞赛中的直线与圆线性规划问题.doc

Y.P.M数学竞赛讲座 1 竞赛中的直线与圆 1.两点距离 [例1]:(2007年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设xk,yk(k=1,2,3)均为非负实数,则+ ++的最小值为 . [解析]: [类题]: 1.⑴(2001年全国高中数学联赛试题)若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为 . ⑵(2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若实数x,y满足(x+2)2+(y-5)2=9,则(x-1)2+(y-1)2的最大值为 . 2.(2007年全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系内,有四个定点A(-3,0),B(1,-1),C(0,3),D(-1,3)及一个动点P,则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为________. 3.⑴(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=+的最小值是 . ⑵(2011年台湾高校(对澳门地区)试题)设f(x)=+,则f(x)的最小值为 . 4.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设a是正数,若f(x)=+(x∈R)的最小值为10,则a= . 5.⑴(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))函数y=-达到最大值时,x的值是 . ⑵(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))当x∈R时,函数y=-( ) (A)没有最大值和最小值 (B)有最大值,没有最小值 (C)没有最大值,有最小值 (D)有最大值和最小值 6.⑴(1992年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=-的最大值是 . ⑵(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)函数f(x)=-的最大值是 . 2.直线问题 [例2]:(1988年全国高中数学联赛试题)在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点.我们用I表示所有直线的集合,M表示恰好通过一个整点的直线的集合,N表示不通过任何整点的直线的集合,P表示通过无穷多个整点的直线的集合,那么表达式:①M∪N∪P=I;②N≠;③M≠;④P≠.中正确的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 [解析]: [类题]: 1.(1987年全国高中数学联赛上海初赛试题)若直线(a-1)y=(3a+2)x-1不通过第二象限(x0,y0),则a的取值范围是___. 2.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)在直角坐标系中,过点(1,2)且斜率小于0的直线中,它在两坐标轴上的截距之和最小的直线的斜率为_____. 3.(2007年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知P(2,1),过点P作直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点,则使 △AOB(O为坐标原点)的周长最小的直线l的方程是 . 2 Y.P.M数学竞赛讲座 4.(2000年全国高中数学联赛试题)平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=x+的距离中的最小值是 . 5.(1999年全国高中数学联赛试题)已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{(3,(2,(1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条数是______. 6.(2011年安徽高考试题)(理)在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是______(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;②如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点;③直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点;④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是有理数;⑤存在恰经过一个整点的直线. 3.直线方程 [例3]:(2008年全国高中数学联赛广东初赛试题)若点1,1)到直线的距离为则的最大值是 (高二)m是任意实数θ是给定的实数由关于x和y的方程确定的动点(xy)在平面直角坐标是 ,直线xcosθ+ysinθ=4+sin(θ+)所围成的图形的面积是 . 4.(2009年江西高考试题)设直线系