第一学期线性代数理工类期末试卷答案.docVIP

福州大学阳光学院考试答案及评分标准专用纸 2011年—— 2012年第一学期 一、填空题（本题总计30分，每小题3分） 1.; 2. 3. A-E 4. 5. 1 6. 7. 8. 9. 10.60 二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1-5： A C D A C 三、计算题（本题总计20分，每小题10分） 1.解 ：……………3分 ………………6分 ……………………9分 ……………………10分 2.解：由已知得………3分 …………5分 …………6分 …………9分 …………10分 四、计算题（本题总计30分，每小题10分） 1.解：方程组的系数行列式 ……………………2分 （1）所以，当由克拉默法则知方程组有唯一解……………3分 （2）当时，方程组的增广矩阵 ……………………………………4分 此时R(A)=2 R(A,b)=3,故方程组无解……………………5分 （3）当时，方程组的增广矩阵 ……………………………………6分 此时R(A)= R(A,b)=23,故方程组有无穷多解……………7分 其等价方程组为 令……………………………8分 对应的导出组等价于， 令……………………………9分 故当时，方程组的通解为：……………10分 2.解：设 则 …………………………5分 故，向量组的秩为2. …………………6分 则向量组的一个最大线性无关组…………………8分 且， …………………10分 3.解：（1）方阵的特征多项式为： 令………………4分 （2）当时，解方程 即 得基础解系为：，………………5分 当时，解方程 即 得基础解系为：，………………7分 因为两两正交， ………………8分 令 ………………9分 则相似，………10分 五、证明题（本题总计10分） 证明：1. 由于所以，矩阵可逆…….4分 2.设的特征值为,对应的特征向量为，则，两边同时左乘得：。若果，则是的特征值；若， 则而，故是。由矩阵特征值的性质知，，由此可得，故也是的特征值，所以与有相同的特征值。