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27.4 换元法解无理方程 多稼中学 朱佳美 2004年9月29日 教学目标： 1、 通过探索换元法解无理方程的原理，让学生理解换元法解无理方程的基本方法，以提高学生的观察力和代数变形能力，帮助学生初步形成数学化归思想。 2、 激发学生对解无理方程的求知欲；培养学生克服困难、不断探索新知的学习态度。 教学重点：探索换元法解无理方程 教学难点：通过代数变形合理设元化简无理方程 教学过程 引入 我们前面学习了无理方程以及无理方程的解法：两边乘方法。 试一试, 你会解方程 2x2 + x - 5 2x2 + x = 6 吗? 学生讨论：用两边乘方法解此题会出现一元四次方程，不易解。试寻找其它方法。 解：(1). 设 2x2 + x = y (2). 设 2x2 + x = y 则原方程可以化为： 则原方程可以化为： y2 – 5y – 6 = 0 y – 5 y = 6 学生讨论：哪种方法好？ 第一种好，它把无理方程转化成有理方程，体现了无理方程有理化的思想。 新课 （一）换元法解无理方程 很好, 这种方法帮助我们把原来的无理方程化简成了有理方程. 这种设辅助元化简无理方程的方法叫做换元法——换元法解无理方程（课题）. 解方程y2 – 5y – 6 = 0， 得y1 = 6, y2 = -1 当y1 = 6时, 2x2 + x = 6 两边平方得 2x2 + x = 36. 即2x2 + x – 36 = 0 解得x1 = - , x2 = 4. 当y1 = -1时, 2x2 + x = -1. ∵ 2x2 + x 的值不可能为负. ∴方程 2x2 + x = -1无解 检验：当x1 = - 时，左边= 6，右边= 6，∴左边= 右边， ∴x = - 是原方程的解 当 x2 = 4 时，左边= 6，右边= 6，∴左边= 右边，∴x = 4是原方程的解 ∴原方程的根是x1 = - , x2 = 4 学生归纳换元法解无理方程的步骤： 整理方程，找到适当的代数式设元，把原方程转换成关于辅助元的有理方程 解关于辅助元的有理方程（检验辅助元） 把求出的有理方程的根代入设，解出原方程的根 检验写答案 问：换元的标准是什么？（以根号为标准） （二）、针对训练： 利用换元法将下列方程化简： 必做题： x2 + 3x - 5 x2 + 3x + 6 + 10 = 0 x2 + 3x + 6 - 5 x2 + 3x + 6 + 4 = 0 设 x2 + 3 + 6 = y，则原方程可化为： y2 – 5y + 4 =0 3x2 + 6x – 2 x2 + 2x = 1 3(x2 + 2x) – 2 x2 + 2x = 1 设 x2 + 2x = y，则原方程可化为：3y2 – 2y = 1 (x – 3)2 + x2 – 6x + 16 = 13 x2 – 6x + 9 + x2 – 6x + 16 = 13 x2 – 6x + 16 + x2 – 6x + 16 = 20 设 x2 – 6x + 16 = y，则原方程可化为：y2 + y = 20 + 3 = 4 设 = y，则原方程可化为：y + = 4 选做题： 3x2 + 15x + 2 x2 + 5x + 1 = 2 3(x2 + 5x + 1 – 1) + 2 x2 + 5x + 1 = 2 设 x2 + 5x + 1 = y，则原方程可化为：3y2 + 2y – 5 = 0 3x2 – 2 x2 – 4x + 7 =12x –13 3x2 + 12x + 21 – 2 x2 – 4x + 7 = 8 设 x2 – 4x + 7 = y，则原方程可化为：3y2 - 2y – 8 = 0 x2 + 3x – 1 = 2x2 + 6x +1 2x2 + 6x – 2 =2 2x2 + 6x +1 2x2 + 6x + 1 –3 = 2 2x2 + 6x +1 设 2x2 + 6x +1 = y , 则原方程可化为：y2 - 3 = 2y + - = + = 设 = y，则原方程可化为：y + = 问：换元法的关键是什么？（合理设元） 思考题： 1. 1 + - 2 = - = 设 = y，则