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关于二次函数在闭区间上的最值估计问题 关于二次函数在上的最值问题，大家已经比较清楚，那么，在闭区间上的最值情况如何呢？本文通过讨论，将给出一个定性的估计 命题1 如果二次函数，，在上的最大值为，那么 证明：（用反证法证明）假设结论不成立，即 因为的对称轴为， ⑴当，即时，在闭区间上为单调函数， 则有 ，此与矛盾； ⑵当，即时，在闭区间上为单调递减函数，在闭区间上为单调递增函数， 则有 ，矛盾； 综上述 成立 命题2 如果二次函数，，在上的最大值为，且，那么 证明： 因为的对称轴为， ⑴当，即时，在闭区间上为单调递增函数（如图（1）），则有 或 ，此与无公共元素，所以无解； ⑵当，即时，在闭区间上为单调递减函数，在闭区间上为单调递增函数（如图（2））， 则有 或 ，此与无公共元素，所以无解； ⑶当，即时，在闭区间上为单调递减函数，在闭区间上为单调递增函数（如图（3））， 则有 或 ，此与有公共元素0，所以，所以 ⑷当，即时，在闭区间上为单调递减函数（如图（4）），则有 或 ，此与无公共元素，所以无解； 综上述，成立 推论1 二次函数，在上的最大值为，那么 证明：另，则 从而有，的最大值就是的最大值 由命题1知，＝ 推论2 二次函数，在上的最大值为，且，那么 证明：另，则 从而有，的最大值就是的最大值 由命题1知，＝，所以， 由命题2知，，所以 又因为 ，所以 所以 图（2） 图（3） 图（4） 图（1）