[工学]第1章逻辑代数基础.ppt

第1章 逻辑代数基础 §1.1 概述 数字电路中经常要遇到计数问题。 先从熟悉的十进制计数入手，分析推导出一般的进位计数规则，并由此引入各种不同的进位计数制和不同数制间的转换方法， 1.数的几种常用进制 1) 十进制 (Decimal Number System) 十进制用0，1，2，…，9十个不同的数表示，并按一定的规律排成序列计数。数字的个数称作数制的“基数”(radix)。十进制就是以10为基数的计数体制。 当数字处于数字序列的不同位置(数位)时，它所表示的数值也不同。 十进制数的基本特点如下： ① 用0，1，2，…，9来表示，基数为10。 ② 计数规律是“逢十进一”，或“借一当十”。 2) 二进制 (Binary Number System) 二进制数与十进制数的排序规律相同，区别在于它们的基数不同。二进制数的基本特点如下: ① 用0和1两个数表示，基数为2。 ② 计数规律是“逢二进一”， 或“借一当二”。 3） 八进制 (Octal Number System) 八进制数用0～7八个数表示，基数为8，位权是8的幂，计数时为“逢八进一”或“借一当八”。 4） 十六进制 (Hexadecimal Number System) 十六进制数的基数为16，用0～9，A(10)，B(11)，C(12)，D(13)，E(14)，F(15)16个数字符号表示，它的运算规律是“逢十六进一”或“借一当十六”。 2. 不同数制之间的转换 在数字电路和计算机中，各种数据处理和运算均采用二进制（八进制和十六进制仍属于二进制系列，主要用来压缩二进制的书写长度），而人们熟悉的是十进制，下面给出不同数制之间的转换方法。 1）其他进制数转换成十进制数 将一个二进制数、八进制数或十六进制数转换成十进制数的方法很简单，只要写出该进制的按权展开式，然后相加，就可以得到等值的十进制数。 2） 十进制数转换成二进制数 十进制数转换为二进制数时，可以按整数部分和小数部分分别进行转换，最后将结果合并为目的数。 （1） 整数部分的转换 十进制整数转换成二进制整数采用“除2取余”法。步骤是用2去除十进制整数，得出的余数是二进制数的最低位(LSB)，所得商再用2去除，得出的余数是二进制数的次低位，重复进行上述过程，直到商是0为止，最后相除的余数即为二进制数的最高位(MSB)。 (2) 小数部分的转换 小数部分的转换采用“乘2取整”法。所谓乘2取整法即是用该小数乘2，第1次乘得结果的整数部分为二进制数的最高位，其小数部分再乘2，所得结果的整数部分为二进制数的次高位，依次类推，直至所得乘积小数部分为零达到要求的精度为止。 (3)十进制数转换为任意进制的数 把十进制数转换为任意进制的数的方法类同于十进制转换为二进制数，积整数部分采用基数相除法，小数部分采用基数相乘法，不同之处在于：基数不再是2，而是r。 3 代码（编码） 1）二进制编码 1位二进制代码可以表示两个信号。两位二进制代码可以表示4个信号。依次类推，n位二进制代码可以表示2n个不同的信号。将一般的信号编成二进制代码称为二进制编码。若要求编码的信息有N项，则所需的二进制代码的位数n应满足2n≥N。 2） 二-十进制编码 在数字电路中，各种数据要转换为二进制代码才能进行处理，而人们习惯于使用十进制数，输入、输出仍采用十进制数，这样就产生了用4位二进制数表示1位十进制数的计数方法，这种用于表示十进制数的二进制代码称为二-十进制代码(Binary Coded Decimal)，简称为BCD码。它即具有二进制数的形式以满足数字系统的要求，又具有十进制数的特点(只有十种数码状态有效)。常见的BCD码有以下几种： (1）8421码 8421码是BCD码中使用最多的一种编码，是一种有权码，其各位的权分别是(从最高有效位开始至最低有效位)8、4、2、1。如果把每一个代码看成一个4位的二进制数，这个代码的数值恰好等于它所代表的十进制数的大小。 (2) 2421码 2421码也是一种有权码，该码自高位至低位的权分别是2、4、2、1，也是用4位二进制代码表示1位十进制数。2421码的位权展开式为： a4a3a2a1＝2×a4+4×a3+2×a2+1×a1 (3) 余3码 余3码也用4位二进制数代表1位十进制数，由于它是在8421码上加0011得到的，所以这种编码叫做余3码。它是一种无权码(每一位无固定权值)。这种码对应的十进制数0和9、1和8、2和7、3和6、4和5也是互补的。 (4) 格雷码 格雷码是一种无权码，特点是任意两个相邻的码之间只有一位数不同。最小数0与最大数15之间也只有一位数不一样，可将这两个数也看做是相邻的，因此它是一种循环码，故格雷码通常又称为循环码。 1.2 逻辑代数中