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数学模型 • 层次分析法建模 Analytic Hierarchy Process 北京理工大学 王宏洲 Multiple-criteria decision-making 多个标准下的决策问题 比如能源系统分析、城市规划、经济管理、教育管理、科研成果评价、社会科学等领域。 背景 日常工作、生活中的决策问题 涉及经济、社会等方面的因素 Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP Information is decomposed into a hierarchy of alternatives and criteria.将事物信息分解成若干层面和标准 Information is then synthesized to determine relative ranking of alternatives.根据综合信息选择方案 Both qualitative and quantitative information can be compared using informed judgements to derive weights and priorities.可以结合使用定性和定量信息 研究生招生 统考成绩 X 笔试成绩 Y 面试成绩 Z 生源 P 研究潜力 Q 得分 张三 400 6 6 2 2 ？ 李四 370 9 9 5 3 ？ 王五 360 8 7 3 5 ？ 加权 50％ 10％ 10％ 5％ 25％ (10*X/总分)*50％＋Y×10％＋Z×10％＋2*P×5％＋2*Q×25％ Example 1 graduate student test Example 2 car selection Objective——Selecting a car Criteria——Style, Reliability, Fuel-economy, Cost? Alternatives——Civic Coupe, Saturn Coupe, Ford Escort, Mazda Miata Hierarchical tree - Nissan - BYD - Chery - Honda - Nissan - BYD - Chery - Honda - Nissan - BYD - Chery - Honda Ranking of criteria(分项评分) Weights设法得到各种车的权重 AHP：pair-wise relative importance 先两两比较重要性 [1:Equal, 3:Moderate, 5:Strong, 7:Very strong, 9:Extreme] Find the weights of Style, Reliability, Fuel Economy Find the weights of every car on Style, Reliability, Fuel Economy Then we have every car’s mark, the highest one is the best one. 思维过程的归纳 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P； 每层有若干元素， 各层元素间的关系用相连的直线表示。 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。 2、层次分析法的基本步骤 第一步：建立层次结构 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 招标采购、评优选秀、 方案评比等等 1 2 3 4 5 必须考虑的各方面因素 子 因 素 11 子 因 素 12 子 因 素 21 子 因 素 22 子 因 素 31 子 因 素 32 子 因 素 41 子 因 素 42 子 因 素 51 子 因 素 52 方案1 方案2 方案3 第二步：构造两两比较矩阵 取得权重有两种情况： 1、可定量（金钱、重量等），则权重可以直接确定； 2、无法直接定量，只能采用定性的办法给出权重。 定性求权重一般采用两两比较办法：将各种因素对于上层元素 的重要性做两两比较，相对重要程度按1—9比例标度权重。 标度 1 3 5 7 9 含义 同样重要 稍微重要 明显重要 非常重要 极端重要 2、4、6、8为中间值，看情况选取。 如何构造判断矩阵 标度 1 3 5 7 9 含义 同样重要 稍微重要 明显重要 非常重要 极端重要 判断矩阵的性质 u1 与 u2 稍微重要，a12 = 2； u2 比 u