[工学]数学物理方法4.pptVIP

学时：6 主要内容 级数，收敛，幂级数性质，泰勒级数和洛郎级数 重点和要求 级数的概念，收敛条件，幂级数性质? 泰勒级数和洛郎级数的概念和性质,把函数展开为泰勒级数和洛郎级数? 作业 :习题四、3(1、4)，6（2、3、4）， 11（1、6），12（1、2、4），16 (2、3）， 19（2） 也可利用柯西乘积求得,具体见课本 补充例题 §4-4 Laurent级数 图示见课本 (6) 单值解析函数沿闭合曲线的积分值与包围奇点的围到形状无关（只有一个奇点时） 注意 在实际应用中,常会遇到在某点z0不解析,但在z0的去心邻域内解析的函数f(z),可将f(z)在圆环域内 展开为洛朗级数. * * 第四章、复数级数 引言 我们在高等数学中学习级数时,已经知道级数和数列有着密切的关系,在复数范围内,级数和数列的关系与实数范围内的情况十分类似.我们即将看到,关于复数项级数和复变函数项级数的某些概念和定理都是实数范围内的相应内容在复数范围内的直接推广. 这一章的主要内容是: 除了介绍关于复数项和复变函数项级数的一些基本概念与性质以外,着重介绍复变函数项级数中的幂级数和由正负整次幂项所组成的Laurent级数,并围绕如何将解析函数展开为幂级数或洛朗级数这一中心内容来进行.这两类级数都是研究解析函数的重要工具,也为下一章留数的学习打下良好的基础. §4-1 复数级数 复数级数及其收敛判据 复数级数收敛判据 级数收敛判别方法 为与n无关的常数 用比较判别法判断 注意调和级数 注意调和级数 §4-2 幂 级 数 幂级数收敛定理 画图说明 证明：Abel第一定理 (同学们自己看) 务必掌握 证明：比值法 例：幂级数收敛范围 补充用比值法或者根值法求幂级数的收敛半径 同学们自己做 重点 复变幂级数的四则运算 同学们应注意这一点 复变幂级数复合运算、性质 总结:首先要把函数做代数变形,使其分母中出现量z-a,因为我们要展成z-a的幂级数,再把它按照展开式为已知的函数 的形式写成 §4-3 Taylor级数 上一节我们看到,复变幂级数的和函数在其收敛圆的内部是一个解析函数.那么其逆是否为真呢?即任何一个解析函数是否能用幂级数来表达.因此有下面的Taylor定理,即把一个解析函数展开为Taylor幂级数. 高阶导数公式 Taylor展开的唯一性 几种常用初等函数的泰勒展开式 注：间接展开法最常用。