[哲学]D8_5-6隐函数求导.pptVIP

导数的另一求法 备用题 2. 设 二元线性代数方程组解的公式 一、空间曲线的切线与法平面 1. 曲线方程为参数方程的情况 例1. 或 法平面方程 切平面方程 特别, 当光滑曲面? 的方程为显式 法向量的方向余弦： 曲面 时, 则在点 故当函数 法线方程 令 在点 有连续偏导数时, 切平面方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 法向量 用 将 表示法向量的方向角, 并假定法向量方向 分别记为 则 向上, 复习 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求球面 在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程. 解: 所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 即 法线方程 法向量 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 第八章 第五节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 隐函数的求导方法 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 则方程 单值连续函数 y = f (x) , 并有连续 (隐函数求导公式) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ② ③ 满足条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数 两边对 x 求导 在 的某邻域内 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 验证方程 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解: 令 连续 , 由 定理1 可知, ① 导的隐函数 则 ② ③ 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两边对 x 求导 两边再对 x 求导 令 x = 0 , 注意此时 — 利用隐函数求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 令 则 定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 解 利用偏导数公式. 确定的隐函数, 则 已知方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 二、方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 由 F、G 的偏导数组成的行列式 称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即 雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 定理3. 的某一邻域内具有连续偏 设函数 则方程组 ③ 的单值连续函数 且有偏导数公式 : ① 在点 ② 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足: 导数； 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (P34-P35) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解1 直接代入公式； 解2 运用公式推导的方法， 将所给方程的两边对 求导并移项 将所给方程的两边对 求导，用同样方法得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 设 求 分别由下列两式确定 : 又函数 有连续的一阶偏导数 , 1. 设 解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得 (2001考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解得 因此 是由方程 和 所确定的函数 , 求 解 分别在各方程两端对 x 求导, 得 (99考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 第六节 复习 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第八章 复习: 平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线 切线方程 法线方程 若平面光滑曲线方程为 故在点 切线方程 法线方程 在点 有 有 因 机动 目录 上页 下页 返回 结束 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置. 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 平面. 点击图中任意点动画开始或暂停 切线方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此