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6.7.1 空间曲线的一般方程 6.7.2 空间曲线的参数方程 6.7.3 空间曲线在坐标面上的投影 * * 6.7 空间曲线及其方程 6.7.1 空间曲线的一般方程 6.7.3 空间曲线在坐标面上的投影 6.7.2 空间曲线的参数方程 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程. 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 特点： 例1 方程组 解 方程组中的第一个方程 半径为5的球面, 第二个方程表示平行于xOy面的 方程组则表示球面与平面 该交线是以点(0,0,3) 为圆心, 半径为4, 在平面z =3上的圆. 表示球心在原点, 平面, 的交线, 表示怎样的曲线？ 例2 方程组 表示怎样的曲线？ 解 表示圆柱面， 表示平面， 交线为椭圆. 例3 方程组 表示怎样的曲线？ 解 上半球面, 圆柱面, 交线如图. 空间曲线的参数方程 动点从A点出发，经过t时间，运动到M点 螺旋线的参数方程 取时间t为参数， 解 例4 如果空间一点M在圆柱面 上以 角速度 绕 z 轴旋转， 同时又以线速度v 沿平行于 z轴的正方向上升 （其中 都是常数）， 那么点 M构成的图形叫做螺旋线． 试建立其参数方程． 螺旋线的参数方程还可以写为 螺旋线的重要性质： 上升的高度与转过的角度成正比． 即 上升的高度 螺距 例6 将曲线方程 化为参数形式. 把第二个方程代入到第一个方程中,整理后得 解 该椭圆的参数方程是 在xOy平面上,该方程表示一个椭圆. 将该式代入到 x+y+z =0中，得 因此所求曲线的参数方程为 将空间曲线化为参数式时，其参数式方程不是惟一的. 消去变量z后得： 曲线关于 的投影柱面 设空间曲线的一般方程： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面. 投影柱面的特征： 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 面上的投影曲线, 面上的投影曲线, 空间曲线在 面上的投影曲线 例7 求曲线 在坐标面上的投影. 解 （1）消去变量z后得 在 面上的投影为 即投影曲线是xOy面上的单位圆. 图6.59 所以在 面上的投影为线段. （3）同理在 面上的投影也为线段. （2）因为曲线在平面 上， 例8 求曲线 在xOy面上的投影曲线. 解 将第二个方程代入到第一 个方程中,有 故所求投影曲线方程为 练习1 将曲线方程 化为参数形式. 练习2 已知两球面的方程为 和 练习3 练习4.求球面 练习1 将曲线方程 化为参数形式. 解 将第二方程变形为 可以看成xOy面上的圆，参数方程为 代入第一个方程得 练习2 已知两球面的方程为 和 解 于是两球面的交线在xOy面上的投影方程是: 由方程组中消去z，即得所求的柱面方程为 *