25-26-07-7.2近自由电子近似.pptVIP

§7.2 近自由电子近似（微扰法） 7.2.2 能隙由来 “材料的结构，材料的物理” 固体物理学 陆栋 蒋平 徐至中 编著 072 7.2.1 一维周期势作为微扰 由于V(x)为周期函数，可展开成傅立叶级数 为简单计，令 由于势场为实数， 代入薛定谔方程（7.2.1）式，方程化为 可得势场的傅立叶分量Vn满足 其中 为一维电子的动能算符 于是上式化为 其本征函数就是自由电子的波函数 波矢 k 满足自由电子的色散关系 而周期性边界条件为 限制 k 取值为 式（7.2.8）中的 将其看作微扰，可得一级微扰能量 由于除 n=0 外 因此必须计及二级微扰。二级微扰能量 注意 由（7.2.11）式与 7.2.16）式可知，除非 于是（7.2.18）式中对k’的累加可转化成对倒格矢的累加 由此得能量 而波函数为 一级微扰波函数为 将上式与（7.1.34）比较可知，如将上式写成一维布洛赫函数的形式 则函数 明显具有晶格周期性 当 即 时，（7.2.22）与 （7.2.25）发散。因此 时，应以 作为零级波函数 将（7.2.8）式中的波函数近似代入（7.2.32）式中 这样得到关于系数A和B的线性齐次方程组 由波函数不应为零得到如下关于电子能量的久期方程 由此得 将（7.2.31）和（7.2.33）式代入上式，并令 可将电子能量写成 上式中的第二项进行泰勒展开，得 能隙如图7.1所示 7.2图为扩展区表示法 出现能量不连续的k＝nπ/a值正是一维布里渊区的边界，对应于禁带的出现，而禁带的宽度为傅立叶分量绝对值的两倍，表明禁带的出现是电子在周期场中运动的必然结果。 7.2.3 三维情况（自学） 现在我们可以将结果推广到三维情况。将周期场 V(r) 展开成傅立叶级数，并取平均场 V0=0 可得 类似于（7.2.8）式将（7.1.15）式写成 一级微扰能量为 其中自由电子波函数为 由于除非Kh=0，否则与一维情况一样，必须计及二级微扰 由此得到非简并微扰适用的三维近自由电子近似的电子能量为 波函数 在布里渊区边界处非简并微扰理论失效。 图7.3可以清楚的看到，如 MN为一垂直于纸面的布里渊区边界，则电子在其上的波矢必满足上式。 由图7.3还可以看到，当k满足（7.2.52）式时 对于布拉维格子来说，如图7.4所示，若一晶面与Kh 垂直，则改晶面族的面间距为 对于复式格子，晶体可以看作t个子晶格的组合，晶体势也可以看作各个子晶格晶体势的叠加。第j个子晶格的晶体势可以如下展开成傅立叶级数 因此晶体势 但V（r）本身可直接展开成傅立叶级数