tjm08第4章函数的近似替代与插值法(全).pptVIP

数值计算方法B 教师： Email： 第4章 函数的近似替代与插值法 4．1插值的基本概念 4．2拉格朗日插值 4．2．1拉格朗日插值多项式 4．2．2插值多项式的误差估计 4．3差商与牛顿插值 4．3．1差商及其计算 4．3．2牛顿插值 4．5分段插值 4．5．1多项式插值的龙格现象 4．5．2分段线性插值 4．5．3三次样条插值函数 差商表 例：求f(xi)= x3在节点x=0, 2, 3, 5, 6上的各阶差商值。 解: 计算如下表： 例： 求 并估计其误差 在区间[ 4 , 9 ]上， 二、差商及其计算? 1、一阶差商 对函数y=f(x)，记 称为函数f(x)关于x0,x1两点的一阶差商。上述牛顿插值多项式中系数a1表达式即为一阶差商；为叙述的完整性，我们可记f[x0]=f(x0)称为函数关于x0点的零阶差商，而上述多项式中的系数a0=f(x0)即为零阶差商。 3、k阶差商 对函数y=f(x)，记 称为函数关于x0,x1,...,xk的k阶差商。 称为函数关于x0,x1,x2三点的二阶差商，上述多项式中的系数a2的表达式即为二阶差商的形式。 2、二阶差商 对函数y=f(x)，记 … … … f[x0,x1,x2 ,x3] f[x1,x2,x3] f[x2,x3 ] f(x3) x3 f[x0,x1,x2] f[x1,x2] f(x2) x2 f[x0,x1] f(x1) x1 f(x0) x0 f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1] f[xi] xi f[x1,x2]- f[x0,x1] x2 – x0 216 6 125 5 27 3 8 2 0 0 f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1] f[xi] xi 4、差商的性质（掌握两条） 性质1：k阶差商是函数值的线性组合： 性质2：差商只与节点有关，而与节点的顺序无关： 牛顿插值：给定n+1个互异的插值点，求解n次插值多项式的值。 将各阶差商表示的待定系数代入牛顿插值多项式即得 求解牛顿插值多项式的值的主要任务就是根据给定的插值点的函数值来计算函数的各阶差商，然后可得被插函数y=f(x)的近似函数Nn(x)。 4．3．2牛顿插值 牛顿插值的误差分析 由 可得： 证明：设x?[a,b]，且是异于x0,x1,...,xn的任一点，那么由这n+2个插值点可构成n+1次的牛顿插值多项式： 由插值条件，当t=x时有Nn+1(x)=f(x)，故有： 虽然牛顿插值多项式与拉格朗日插值多项式的形式不同，但由多项式项式的唯一性可知，它们在本质上是相同的，所以两种多项式的误差函数应该相等： 可得差商的另一种表示形式： 牛顿插值的承袭性：表现在对差商的计算具有承袭性：增加新的插值点后，以前计算的差商并不会弃之不用，而是在原有的基础之上增加了更高一级差商的计算。 故： 例：已知x=0,2,3,5对应的函数值为y=1,3,2,5, 作三次Newton插值多项式。 xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 ∴ 所求的三次Newton插值多项式为 例： 已知 f(x) = x7+ x4+ 3x+ 1 求 f [20, 21, … 27 ] 及 f [20, 21, … 27, 28 ] 分析：本题 f(x)是一个多项式, 故应利用差商的性质 解: 由差商与导数之间的关系 解：作函数 f(x) = 取 x0=4, x1=9, x2=6.25 , 建立差商表 2.5 6.25 3 9 2 4 f[xi,xi+1,xi+2] f [xi,xi+1] f(x) x N2(7)= 2 + (7-4)*0.2 + (7-4)*(7-9)*(-0.00808) = 2.64848 f 3(x) = Rn (x) 余式近似 0.5 *10 -2, N2(7) = 2.64848 可舍入为2.65 | f(x)(n+1) | ? Mn+1 由 牛顿插值的算法? 一）数据描述 （1）实型数组x[ ]和y[ ]分别表示插值点xi