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第三章 RLC电路的特性 第三章 RLC电路的特性 §3.1 动态电路的方程及其初始条件 §3.2 动态电路求解三要素法 §3.3 RC一阶电路在脉冲电压作用下的暂态过程 §3.4 RC一阶电路在正弦信号激励下的响应 §3.5 小结和讨论 * * 3.1.1 动态电路的方程 对于含有一个电容和一个电阻，或一个电感和一个电阻的电路，当电路的无源元件都是线性的且不变时，描述电路参数的方程是一阶线性常微分方程，相应的电路称为一阶电阻电容电路（简称RC电路），如图3-1（a）所示，或一阶电阻电感电路（简称RL电路），如图3-1（b）所示。 图3-1 一阶电路 § 3.1 动态电路的方程及其初始条件 【例3-1】试分别求出图3-2（a）、（b）两电路的开关S从2拨向1，当电路处在稳态以后，又从1拨向2这两个动态过程，电容两端的电压uC和电感上的电流iL随时间变化的函数关系。 图3-2 例3-1图 【解】 开关S从2拨向1由KVL可得 将 的关系式代入可得 （3-1） 上式是可分离变量的一阶线性常系数微分方程，对上式进行分离变量可得 两边取积分得 上式中的lnA1是积分常数，令τ=RC，τ称为时间常数，去掉上式中的对数可得 （3-2） 3-2式就是开关S从2拨向1后，电容两端的电压随时间变化的函数关系式，式中的A1为积分常数。 当开关S从1拨向2以后，电压源US加在RC电路上，RC电路的电流和电压又将发生变化，利用KVL可得 将 的关系代入可得 上式的形式与3-1式一样，解的方法也一样，令 г也称为时间常数，可得 ， （3-5） 当开关S从1拨向2以后，利用KVL可得 将 的关系代入可得 （3-6） 该微分方程的形式与3-3式一样，解的方法也一样，分离变量可得 （3-7） 3.1.2 换路定则及初始值的确定 1．换路 因电路结构或参数的变化所引起的电路变化统称为“换路”。 2．换路定则及初始值的确定 换路定则的公式为 （3-8） （3-9） 由换路定则确定了uC(0+)或iL(0+)初始值后，电路中其他元件的电压、电流的初始值可按以下的原则来确定 （1）换路瞬间，电容元件当作恒压源。如果uC(0-)=0，则uC(0+)=0，电容元件在换路瞬间相当于短路。 （2）换路瞬间，电感元件当作恒流源。如果iL(0-)=0，则iL(0+)＝0，电感元件在换路瞬间相当于开路。 （3）运用KCL、KVL及直流电路中的分析方法，可计算电路在换路瞬间其他元件的电压、电流的初始值。 【例3-2】利用换路定则确定例3-1解中的积分常数。 【解】根据换路定则可得开关S从2拨向1时的初始条件为 （3-10） （3-11） 分别将式3-10和3-11代入式3-2和3-5可得 和 将A的表达式代入式3-2和3-5中可得 （3-12） （3-13） 根据换路定则可得开关S从1拨向2时的初始条件为： （3-14） （3-15） 分别将式3-14和3-15代入式3-4和3-7可得 和 则 和 将A的表达式代入式3-4和3-7可得 （3-16） （3-17） 【例3-3】确定图3-4所示电路开关S闭合后各支路电流和电压的初始值。设开关S闭合前电容元件和电感元件上均未储存能量 【解】先求出S闭合终了前瞬间各电流和电压的初始值，根据已知条件在t=0-的瞬间，因开关S未闭合，电容和电感上均未储能，所以，uC(0-)=0，iL(0-)=0，可将电容作短路处理，电感作开路处理，由此可得t=0-瞬间的等效电路，如图3-5所示。由图3-5可见，除US=10V外，所有元件上的电压和电流均为零。 图3-4 例3-3图 图3-5 t=0-时的等效电路 根据图3-5可得 从计算的结果可见，换路瞬间电容上的电流和电感两端的电压不等于0，发生了突变；而电容两端的电压和电感上的电流等于0，不发生突变。 由上面的讨论可知，如图3-2所示的一阶电路电容两端电压和电感上的电流随时间变化的函数关系式是式3-12、3-13、3-16和3-17，即 当t趋于无穷大时，对于零输入响应最后的稳定值是0，而零状态响应，最后均趋于稳定值US或 § 3.2 动态电路求解的三要素法 例如对于图3-2（a）所示的电路，当开关S从1拨向2以后，将三要素uc(0)=0，uc(∞)=US，τ=RC代入三要素方程可得 与3-16式的结论一样。 当开关S从2拨向1以后，将三要素uc(0)=US，uc(∞)=0，τ=RC代入三要素方程可得 与式3-12的结论一样，但求解的过程却简