[2018年必威体育精装版整理]2两个变量的线性相关.pptVIP

2.3.2 两个变量的线性相关 * 例1：下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表： 64 50 38 34 24 20 杯数 －1 4 10 13 18 26 气温/℃ （1）将上表中的数据制成散点图. （2）你能从散点图中发现温度与饮料杯数近似成什么关系吗? （3）如果近似成线性关系的话，请画出一条直线方程来近似地表示这种线性关系. （1）画出散点图： 温度 杯数 （2）从图中可以看出温度与杯数具有相关关系，当温度由小到大变化时，杯数的值由大到小. 所以温度与杯数成负相关. 图中的数据大致分布在一条直线附近，因此温度与杯数成线性相关关系。 （3）根据不同的标准，可以画出不同的直线来近似地表示这种线性关系。 如可以连接最左侧和最右侧的点，或者让画出的直线上方的点和下方的点的数目相同。 温度 杯数 温度 杯数 由图可见，所有数据的点都分布在一条直线附近，显然这样的直线还可以画出许多条，而我们希望找出其中的一条，它能最好地反映x与Y之间的关系。 换言之，我们要找出一条直线，使这条直线“最贴近”已知的数据点。记此直线方程是 这里在y的上方加记号“^”，是为了区分Y的实际值y. 表示当x取xi (i=1，2，…，6)时，Y相应的观察值为yi，而直线上对应于xi的纵坐标是yi=bxi+a. ^ 上式叫做Y对于x的回归直线方程， b叫做回归系数。 要确定回归直线方程，只要确定a与b. 回归直线的方程 的求法： 设x，Y的一组观察值为 (xi，yi) (i=1，2 …，n) 且回归直线的方程为 当变量x取xi (i=1，2，…，n)时，可以得到： (i=1，2，…，n)， 它与实际收集到的yi之间的偏差是： (i=1，2，…，n)， 可见，偏差的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表n个点与相应直线在整体上的接近程度。故采用n个偏差的平方和 表示n个点与相应直线在整体上的接近程度. 记 (∑为连加符号) 上式展开后，是一个关于a，b的二次多项式，应用配方法，可求使Q取得最小值时a、b的值. 这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条。由于平方又叫做二乘方，所以这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做“最小二乘法”。 用最小二乘法求回归直线方程中a，b有下面的公式： 其中 同样a，b的上方加“^”，表示是由观察值按最小二乘法求得的估计值。 由于 ，故巧合的是：(xi，yi) (i=1，2，…，n)的中心点 在回归直线上，x处的估计值为 . 例2. 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度Y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如下表： 46 29 25 23 19 17 16 13 10 10 6 Y/μm 120 90 70 60 50 40 30 20 15 10 5 x/s （1）画出表中数据的散点图； （2）求Y对x的回归直线方程； （3）试预测腐蚀时间为100时腐蚀深度是多少？ 解：（1）散点图如下 （2）根据公式求腐蚀深度Y对腐蚀时间x的回归直线方程。 13910 36780 214 510 ∑ 5520 14400 46 120 11 2610 8100 29 90 10 1750 4900 25 70 9 1380 2600 23 60 8 950 2500 19 50 7 680 1600 17 40 6 480 900 16 30 5 260 400 13 20 4 150 225 10 15 3 100 100 10 10 2 30 25 6 5 1 xy x2 Y x 序号 计算a, b的值. ^ ^ 由上表分别计算x，y的平均数得 写出回归方程为y=0.304x+5.346. ^ （3）根据求得的回归方程，当腐蚀时间为100s时， y=0.304×100+5.346=38.86(μm) ^ 即腐蚀深度约为38.86μm. 练习题 1．下列说法正确的是（ ） （A）y=2x2+1中的x，y是具有相关关系的两个变量 （B）正四面体的体积与其棱长具有相关关系 （C）电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系 （D）传染病医院感染“非典”的医务人员数与医院收治的“非典”病人数是具有相关关系的两个变量 D