[2018年必威体育精装版整理]11-章习题课.docVIP

第11章 常微分方程习题课 内容提要 1.基本概念 含有一元未知函数(即待求函数)的导数或微分的方程,称为常微分方程;其中出现的的最高阶导数的阶数称为此微分方程的阶;使微分方程在区间上成为恒等式的函数称为此微分方程在上的解;显然一个微分方程若有解,则必有无穷多解;若阶微分方程的解中含有个不可合并的任意常数,则称其为此微分方程的通解;利用个独立的附加条件(称为定解条件)定出了所有任意常数的解称为特解;微分方程连同定解条件一起,合称为一个定解问题;当定解条件是初始条件(给出在同一点处的值)时,称为初值问题. 2.一阶微分方程的解法 (1)对于可分离变量方程, 先分离变量(当时)得, 再两边积分即得通解 . (2)对于齐次方程, 作变量代换,即,可将其化为可分离变量的方程,分离变量后,积分得,再以代替便得到齐次方程的通解. (3)形如的方程, ①若均为零,则是齐次方程; ②若不全为零,则不是齐次方程,但 当时,只要作变换,即可化为可分离变量的方程; 当时,只要作平移变换,即(其中是线性方程组的惟一解),便可化为齐次方程 . (4)全微分方程 若方程之左端是某个二元函数的全微分,则称其为全微分方程,显然即为通解,而原函数可用曲线积分法、不定积分法或观察法求得. 通常用充要条件来判定是否为全微分方程.对于某些不是全微分方程的,可乘上一个函数使之成为全微分方程 (注意到当时与原方程同解),并称为积分因子;一般说来,求积分因子比较困难,但有时可通过观察得到. (5)一阶线性微分方程的通解公式 当不恒为零时,称其为一阶线性非齐次微分方程;当恒为零,时,即称为一阶线性齐次微分方程,这是一个可分离变量的方程,易知其通解为;由此用“常数变易法”即可得到非齐次微分方程的通解 . (6)对于Bernoulli方程 (),只需作变换,即可化为一阶线性方程. 3.高阶方程的降阶解法 以下三种方程可通过变量代换降成一阶方程再求解: (1)对于方程,令化为;在实际求解中,只要对方程连续积分次,即得其通解 . (2)对于(不显含),作变换,则,于是可化一阶方程;显然对可作类似处理. (3)对于(不显含),作变换,则,于是可化为一阶方程. 4.线性微分方程解的结构 (1)线性齐次微分方程解的性质 对于线性齐次微分方程来说,解的线性组合仍然是解. (2)线性齐次微分方程解的结构 若是阶线性齐次微分方程的线性无关的解,则其通解为 . (3)线性非齐次微分方程解的结构 线性非齐次微分方程的通解,等于其对应的齐次方程的通解与其自身的一个特解之和,即. (4)线性非齐次微分方程的叠加原理 1设()是方程 的解,则是方程 的解. 2若实变量的复值函数是方程 的解,则此解的实部是方程 的解;虚部是方程 的解. (5)线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系 线性非齐次方程任意两个解的差是对应的齐次方程的解. 5.常系数线性微分方程的解法 (1)求常系数线性齐次微分方程通解的“特征根法” 1写出的特征方程 ， 并求特征根； 2根据特征根是实根还是复根以及重数写出通解中对应的项(见下表) 特征根为 给出通解中的 单实根 1项: 重实根 项: 一对单复根 2项: 一对重复根 2项: (2)下列两种情况可用“待定系数法”求常系数线性非齐次方程的特解 对于,应设特解 , 其中等于为特征根的重数(),是待定系数.将代入原方程,可定出,从而求得. 对于 (),应设特解 , 其中等于为特征根的重数(),是待定的次多项式.将代原方程,即可定出,从而求得. 或因为 （其中是次的复系数多项式）. 对于方程 可设其特解 ， （是次待定复系数多项式，等于为特征根的重数），将代入方程 中，可定出，于是，从而原方程的特解. 特例 求得 6.Euler方程的解法 形如 的线性变系数微分方程称为Euler方程,是一种可化为常系数的变系数微分方程. 解法 只需作变换 ,即,即可将其化为常系数线性微分方程. 若引入微分算子,则 ,,, 于是很容易写出对应的齐次方程的特征方程. 7. 应用常微分方程解决实际问题的一般步骤 在适当的坐标系下,设出未知函数,据已知条件写出相关的量; 根据几何、物理、经济及其它学科的规律（往往是瞬时规律或局部近似规律）建立微分方程; 提出定解条件; 求定解问题的解; 分析解的性质，用实践检验解的正确性. 二.课堂练习(除补充题外,均选自复习题11) 1.填空题 (1)已知及是方程的解,则其通解为. 解:因,都是解,且