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* 第三节 幂级数 一、函数项级数的概念 1.定义: 2.收敛点、发散点，收敛域、发散域: 2.收敛点、发散点，收敛域、发散域: 3.和函数: 余项 对于收敛域上的任何x,有 注意 函数项级数在某点x处的收敛问题,实质上就是 常数项级数的收敛问题. 解 例1 由常数项级数的比值审敛法,知: 原级数绝对收敛. 原级数发散. 收敛; 发散; 1.定义: 2.收敛域: 二、幂级数及其收敛性 定理1[阿贝尔(Abel)定理] 证明 证明 ◆阿贝尔定理的几何说明: 收敛 发散 发散 ◆收敛半径的定义: 则称R为幂级数的收敛半径. 称开区间(-R,R)为幂级数的收敛区间. ◆规定 ◆问题 如何求幂级数的收敛半径? 定理2 证明 证毕. 例2 求下列幂级数的收敛半径和收敛域: 解 发散， 收敛， 收敛域为： 故收敛域为： 故收敛域为： 发散, 收敛, 所以所求收敛域为 (0,1]. 级数绝对收敛; 解 练习 级数发散; 发散; 故,原级数的收敛域为： 1.幂级数的代数性质: (1)加减法 三、幂级数的运算性质 (2)乘法 (其中 柯西乘积 2.和函数的分析性质: 性质1 性质2 性质3 解 例3 两边积分得： ◆幂级数的收敛半径，收敛区间，收敛域及其求法; ◆幂级数的运算: 代数运算和分析运算； ◆函数项级数,和函数,收敛域等概念; 四、小结与教学基本要求: ◆掌握: ◆会求简单幂级数的和函数. ◆会利用幂级数的和函数求简单常数项级数的和. *