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随机信号分析 中国民航大学 电子信息工程学院 焦卫东 随机过程的微积分 随机过程的时域分析 各态历经过程 ☆ 用一个样本函数得到整个过程的数字特征 ☆ 各态历经的提出 实际问题中，如何得到一个随机过程的数字特征？ 各态历经的引入 俄国的辛钦提出： 有一种平稳随机过程在一定补充条件下，对其任意一个样本函数所作的各种时间平均，从概率意义上趋近于此过程的各种统计平均。 称这种平稳随机过程为各态历经过程，或遍历过程。 可以理解为：任何一个样本函数都同样经历了随机过程的所有可能状态，从一个样本函数可以得到整个随机过程的统计信息。 各态历经的引入 一般随机过程 各态历经过程 确定函数x(t)的时间平均 随机过程X(t)的时间平均 时间均值 严各态历经过程 如果一个平稳过程X(t)，它的各种时间平均（时间足够长）以概率1收敛于相应的统计平均，则称随机过程X(t)为严各态历经过程。 宽各态历经过程 如果一个平稳随机过程X(t)，它的均值和自相关函数都具有各态历经性，则称随机过程X(t)为宽各态历经过程。 举例（宽各态历经） 设随机过程 X(t) = Acos(Bt+C) -? t +? 式中A，B都是常数，C是在（0，2?）上均匀分布的随机变量。 试问： X( t )是否是平稳随机过程？ X( t )是否是各态历经过程？ 各态历经的实际意义 一、工程问题的方便 二、随机过程X(t)的均值和自相关函数具有明确的物理意义 均值 平均电压 均值平方 直流平均功率 均方值 总平均功率 方差 交流平均功率 由于，在工程中所遇到的大多数平稳随机过程，每个样本都出于同一随机因素，因而各样本都具有相同的概率分布特性，可以认为工程中所遇到的大多数平稳随机过程都具有各态历经性。因此，人们通常凭“经验” 先把各态历经性作为一种假设，再根据实验来检验此假设是否合理。 高斯过程 高斯过程的定义 高斯过程的性质 严平稳和宽平稳等价。 互不相关和独立等价。 严平稳和宽平稳等价 高斯过程通过线性系统的输出仍是高斯过程 作业（高斯过程） 习题 必做题： 2-21 2-22 2-24（补充题）（5－8小题） 新的东西最美好，老的朋友最可靠。 随机序列的收敛 过程的连续 过程的微分 过程的积分 五种收敛模式及其相互关系 处处连续 均方连续（定义、条件、期望、平稳） 处处可微 均方可微（定义、条件、性质、平稳） 均方积分（三种定义、期望、均方值、方差、自相关） 平稳过程 两个随机过程 复过程 随机过程的微积分 各态历经过程 高斯过程 时间平均 严各态历经 宽各态历经 各态历经的意义 数字特征（期望、方差等） 概率密度 对一个过程进行大量重复的实验，次数N足够大以满足随机试验的第二个条件，得到足够多的样本函数。 不容易！ 进行大量重复 实验 次数N足够大 得到足够多样本函数 概率密度 数字特征（期望、方差等） 进行实验，得到各态历经过程的一个样本函数 计算这个样本函数的各类时间平均 时间自相关 时间均值 常数 确定函数 时间自相关 随机变量 随机过程 比如 变量 常数 过程 函数 变量 常数 1、随机过程X(t)为平稳过程 2、均值各态历经 3、自相关各态历经 若随机过程X(t)的任意n维概率分布都是高斯分布的，则称它为高斯过程或正态过程。 概率密度 高斯过程和确定信号之和是高斯过程。 高斯过程的导数（均方可微）是高斯过程。 高斯过程的积分（均方可积）是高斯过程。 高斯过程通过线性系统的输出仍是高斯过程。 证明过程同高斯矢量。 严平稳 宽平稳 宽平稳 协方差 高斯过程和确定信号之和是高斯过程。 高斯过程的导数（均方可微）是高斯过程。 高斯过程的积分（均方可积）是高斯过程。 证明思路