[2018年必威体育精装版整理]10变分法.ppt

在应力边界问题中，因为面力不能有变分，所以变分方程简化为δU=0,因此系数应满足 上式为线性方程组，求解Am后，得到应力函数的近似解，最后得到各应力分量。 将应力函数的表达式代入，得 41 由于是近似解，应力分量不能精确满足相容条件，由应力分量求得的应变分量也不能精确满足变形协调条件，不能根据几何方程求得位移分量。 由上式即可解得系数Am。从而确定应力函数?，再由应力函数?求得各应力分量。 应力函数法的要点是要找到满足全部边界条件的应力函数，而这种函数一般仍然难以找到，尤其在边界不规整的情况下。所以应力方法的应用在这一点上受到极大的限制。 42 最小余能原理 例 已知图示静不定梁,抗弯刚度为EI,求支座反力. 解: 此梁为一次静不定梁,设RA为多余反力,根据静力平衡条件可得 各段弯矩 AD DB BC 在不考虑剪切效应时,直杆弯曲的应变能(在线弹性时,应变余能等于应变能)为 由于支座无位移,总余能就等于应变余能,下面用最小余能原理来确定参数RA. 最后可得 本例是最小余能原理用于解静不定梁的例子 例题3：设有矩形薄板，体力不计，在两对边上受有按抛物线分布的拉力，其最大集度为 q ，图示。试求板的应力。 解：在图示坐标下，边界条件是 取 x y a a b b q 43 则由 给出的应力分量 满足边界条件。而由 所对应的应力能满足无面力时的边界条件。 将?以及体力X=Y=0代入下式中 44 进行积分，并简化以后得 为简单起见，令a=b，则 代入?中，并令a=b，再求应力分量得 45 习题10.1 铅直平面内的正方形薄板，边长为2a，四边固定，只受重力作用，设 ，试取位移分量的表达式为 用瑞次法求解位移分量(取A1项及B1项)及应力分量。 a a a a x y 解： 当只取A1项及B1项时： 形变势能 现计算 和 在用瑞次法时，要求 由 解之得 所以 习题10.2 简支梁受均布荷载q，梁长为 (图示)。梁的平衡方程为 设梁的挠曲线方程为 试用伽辽金法求梁的挠曲线。 q x y 解： 梁的边界条件为 故挠曲线方程满足边界条件。 梁的平衡方程为 代入伽辽金方程，得 积分后得待定系数 故挠曲线方程为 显然所设梁的挠曲线方程 满足边界条件。 由极小势能原理求系数a2和a3 。形变势能为 解： 设梁的挠曲线为 其边界条件为 习题10.3 悬臂梁在自由端受集中力P作用，如图所示。试用极小势能原理求最大挠度。 P x y 外力势能为 则总势能为 应用极小势能原理 则 积分得 由上述两方程解得 故挠曲线为 最大挠度值为 例2：如图所示，宽为2a而高度为b的矩形薄板，左右两边及下边均被固定，而上边的位移给定为 不计体力，试求薄板的位移和应力。 解： 取坐标轴如图所示。设位移分量为 a a b b o x y η 24 可以满足位移边界条件，即 在该问题中，并没有应力边界条件，因此可以认为所设位移既然满足了位移边界条件，也就满足了全部边界条件，这就可以应用伽辽金法求解，使数学运算比较简单一些。 注意体力X=Y=0而m = 1，伽辽金方程成为 25 a a b b o x y η 将位移分量的各二阶导数 以及 代入伽辽金方程，进行积分并求解得 26 为简单起见，取b=a而μ=0.2，将A1和B1代入所设位移函数得 应用几何方程及物理方程，可有上式求得应力分量 27 最小势能原理与Ritz法的比较 最小势能原理 Ritz法 自变量 自变函数u、v、w 由自变量Am、Bm 、Cm 定义的u、v、w 自变量的 约束条件 几何方程和位移 边界条件 几何方程和位移 边界条件 总势能 ? ?=?（u、v、w） 泛函 ?=?（Am、Bm、Cm） 多元（3m元）函数 变分等于零 积分方程—— 静力方程的积分形式 多元（线性）方程组 满足?? =0的解 解析解 近似解 §10-4 应力变分方程应力变分方法 线弹性情况下: §10-4 应力变分方程应力变分方法 设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡。命σij为实际存在的应力分量，它们满足平衡微分方程和应力边界条件，也满足相容方程。现在，假想体力不变,而应力分量发生了微小的变化δσij，即所谓虚应力或应力的变分，使应力分量成为σij +δσij ，设它们只满足平衡微分方程和应力边界条件。 一 应力变分方程 既然两组应力分量都满足同样体力作用下的平衡微分方程，应力分量的变分必然满足无体力时的平衡方程，即 28 (a) (b) 同时，