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有限元分析的基本步骤 主讲教师：伍开松 Email:wks9998@163.com Tel机电工程学院 2-1 有限单元法的概念 通过材料力学求解和有限元求解进行比较 例：等截面直杆在自重作用下的拉伸 图(a) 单位杆长重量为q，杆长为L，截面面积为A，弹性模数为E 2-1 有限单元法的概念 材料力学方法求解： 图(b)---位移法 考虑微段dx，内力 N(x)=q (L-x) dx的伸长为 x截面上的位移： 根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里 应变 应力 2-1 有限单元法的概念 有限单元法求解直杆拉伸： 2-1 有限单元法的概念 有限单元法求解直杆拉伸： 2-1 有限单元法的概念 有限单元法求解直杆拉伸： 2-1 有限单元法的概念 有限单元法求解直杆拉伸： 2-1 有限单元法的概念 有限单元法的基本思路： (1) 把物体分成有限大小的单元，单元间用结点相连接。 (2) 把单元结点的位移作为基本未知量，在单元内的位移，设成线性函数(或其它函数)，保证在单元内和单元间位移连接。 (3) 将结点的位移与结点的力联系起来。 (4) 列出结点的平衡方程，得出以结点位移表达的平衡方程组。 (5) 求解代数方程组，得出各结点的位移，根据结点位移求出各单元中的应力。 有限单元法的基本未知量是结点位移，用结点的平衡方程来求解。 2-2 有限单元法的计算步骤 弹性力学平面问题的有限单元法包括三个主要步骤： 1、离散化 2、单元分析 3、单元综合 2-2 有限单元法的计算步骤 1、离散化 有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角形单元。这些单元在结点处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点荷载。在结点位移或其某一分量可以不计之处，就在结点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。 2-2 有限单元法的计算步骤 2-2 有限单元法的计算步骤 2-2 有限单元法的计算步骤 2-2 有限单元法的计算步骤 2-3 单元位移函数 2-2 单元位移函数 2-3 单元位移函数 2-3 单元位移函数 2-3 单元位移函数 2-3 单元位移函数 2-3 单元位移函数 2-4 单元载荷移置 2-4 单元载荷移置 2-4 单元载荷移置 2-4 单元载荷移置 2-5 单元应力矩阵 2-5 单元应力矩阵 * 1、离散化（节点和单元） 2、外载荷集中到结点上，即把阴影部分的重量作用在结点i上 3、假设线单元上的位移为线性函数 4、以i结点为对象，列力的平衡方程 令 将位移和内力的关系代入得 用结点位移表示的平衡方程，其中i=1，2，… n有n个方程 未知数也有n个，解方程组，得出结点位移，进而计算应力 假设线单元数为3个的情况， 平衡方程有3个： i=1时， i=2时, i=3时， 联立解得 与材料力学的精确解答在结点处完全相同 2、单元分析 对三角形单元，建立结点位移与结点力之间的转换关系。 结点位移 结点力 2、单元分析-----单元刚度矩阵 取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力： 其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。 单元分析的步骤可表示如下： 3、单元综合 将离散化了的各个单元合成整体结构，利用结点平衡方程求出结点位移。 在位移法中，主要的任务是求出基本未知量---结点位移。为此需要建立结点的平衡方程。 3、单元综合 i点总的结点力应为： 根据结点的平衡条件，得 单元e的结点力，可按式(2-2)用结点位移表示，代入得到用结点位移表示的平衡方程。 每个可动结点有两个未知位移，有两个平衡方程，所以方程总数与未知位移总数相等，可以求出所有的结点位移。 单元综合的目的就是要求出结点位移。结点位移求出后，可进一步求出各单元的应力。 如果弹性体的位移分量是座标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。 有限单元法的基本原理是分块近似，即将