[2018年必威体育精装版整理]01_复变函数.pptVIP

性质： 1)若函数f(z)=u+iv在区域B上解析，则u(x,y)=c1，v(x,y)=c2是B上的两组相互正交的曲线族，其中c1，c2为常数. 例：f(z)=z2 C-R条件 ?u和?v分别是u(x,y)=c1和v(x,y)=c2的法向矢量，因此上式表明u(x,y)=c1和v(x,y)=c2是B上的两组相互正交的曲线族。 2)若函数f(z)=u+iv在区域B上解析，则u(x,y)，v(x,y)是B上的调和函数。 若函数H(x,y)在区域B上有二阶连续偏导数，且?2H=0，则称H(x,y)是B上的调和函数。 ? u(x,y)和v(x,y)都是调和函数。 讨论： 1) 任何在区域B内解析的函数，其实部和虚部都是B内的调和函数，由于它们是同一个复变函数的实部和虚部，所以又叫作共轭调和函数。 2) 如果在区域内任选两个调和函数u和v，则函数f(z)=u+iv在区域内不一定是解析函数。只有当u和v还满足相应的C-R条件，对应函数f(z)= u+iv在区域内才解析(而v+iu却不一定解析)。 3) 由此提供了构成一个解析函数的方法，即由一个调和函数，利用柯西－黎曼条件可求出另一个与之共轭的调和函数，再由这一对共轭调和函数构建出一个解析函数。 解析函数的实部和虚部存在一定关联，因此由一个解析函数的实部或虚部即可确定该解析函数，具体方法如下： (1) 曲线积分法 全微分的积分与路径无关，故可选取特殊积分路径，通过积分计算出待求函数。 (2) 凑全微分显式法 (3) 不定积分法 例：已知解析函数f(z)的实部u(x,y)=x2-y2,求虚部和这个解析函数。 0 (x, y) (x,0) x y 一些常见的初等解析函数 复平面内处处单值且解析 除原点及正实轴外复平面解析 数学物理方法 教材及参考书： 《数学物理方法》梁昆淼，高等教育出版社。 《数学物理方法》邵惠民，科学出版社。 主讲：侯春风 哈尔滨工业大学物理系 数学物理方法 实验?唯象理论?基本理论?数学 数学物理方法: 构建数学物理模型，研究解决方法。 数学和物理的有机结合。 1.复变函数篇 2.数学物理方程篇 第一章 复变函数 第二章 复变函数的积分 第三章 幂级数展开 第四章 留数定理 第五章 傅里叶变换 第六章 拉普拉斯变换 第一篇 复变函数论 §1.1 复数与复数运算 十九世纪的三位代表性人物： 柯西（Cauchy, 1789-1857） 维尔斯特拉斯（Weierstrass, 1815-1897） 黎曼（Rieman, 1826-1866） 柯西和维尔斯特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数， 黎曼研究复变函数的映像性质，建立了系统的复变函数论。 实数领域中不能解释的问题： 负数不能开偶数次方，负数没有对数，指数函数无周期性，正弦、余弦函数的绝对值不能超过1，…… 实数?复数 实变函数?复变函数 第一章 复变函数 复数： 实部x，记Rez；虚部y，记Imz。 x2 = -1无实数解，引入i2 = -1，i称为虚数单位 y x (x, y) x 欧拉公式： 极坐标： 指数式、三角式： ?称为复数的模，记 作|z|；? 称为辐角，记作Argz。 共轭复数： 一个复数的辐角可以取无穷多个值，并且彼此相差2?的整数倍，通常把满足条件 的一个特定值称为Argz的主值，或z的主辐角，于是有： 零；无限远点? x y 0 x+iy ? 复球面（复数球） 测地投影 复数的四则运算： 复数的四则运算满足交换律、结合律和分配律。 二项式定理： 例：求下列方程所表示的曲线： |z+i|=2; 2) |z-2i|=|z+2|; 3) Im(i+z*)=4. 例：(1+i)1/4 = ? 讨论： §1.2 复变函数 邻域：以复数z0为圆心，任意小正实数?为半径作圆:|z-z0|? ，则圆内所有点的集合称为z0的邻域。 去心邻域： 0|z-z0|? 所确定的点集。 内点: 若z0及其邻域均属于平面点集E, 则称z0为该点集的内点。 外点: 若z0及其邻域均不属于点集E, 则称z0为该点集的外点。 境界点：若在z0的每个邻域内，既有属于E的点，又有不属于E的点，则称z0为点集E的境界点，它既不是内点也不是外点，其全体称为境界线。 区域：指同时满足下列两个条件的点集： (1) 全由内点组成； (2) 具有连通性，即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，且折线的点全都属于该点集。 闭区域：区域及其境界线所组成的点集称为闭区域。 注：与闭区域相比较，把不含边界的区域B称为开区域。而且若无特殊声明所谓的区域均指开区域。闭区域需明确指出。有界和无界。 平面曲线：对于在[a, b]上定义的函数