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师：高中数学圆锥曲线所有知识点总结、图表总结、圆锥曲线基础练习及答案 高中数学第八章-圆锥曲线方程 §08. 圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义： PFPFPF 111 ?PF?PF?PF 222 ?2a?F1F2方程为椭圆,?2a?F1F2无轨迹, ?2a?F1F2F1,F2为端点的线段 ⑴①椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在x轴上：x a 22 ? yb 22 ?1(a?b?0). ii. 中心在原点，焦点在y轴上：y a 22 22 22 ? xb 22 ?1(a?b?0) . ②一般方程： ? 2 Ax?By?1(A?0,B?0).③椭圆的标准参数方程： 2 2 xa ? yb ?1 的参数方程为? ?x?acos??y?bsin? （一象限?应是属 于0?? ? ）. ⑵①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c).④焦距：F1F2?2c,c?a?b.⑤准线：xi. 设P(x0,y0)为椭圆 xa 22 22 ?? a 2 c 或y ?? a 2 c .⑥离心率：e? ca (0?e?1).⑦焦点半径： ?a?ex0? ? yb 22 ?1(a?b?0)上的一点，F1,F 2 PF1?a ?ex0,PF2 由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设P(x0,y0)为椭圆 xb 22 ? ya 22 ?1(a?b?0)上的一点，F1,F 2 PF 1? a?ey0,PF 2 ?a?ey0? 由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知： pF1?e(x0? a 2 c )?a?ex0(x0?0),pF 2 ?e( a 2 c ?x0)?ex0?a(x0?0)归结起来为“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得N(acos?,bsin?)?方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆参数，a?b?0)的离心率也是e⑸若P是椭圆： PF ?PF ?2a xa 1 2 22 ? 2ba 2 2 (?c, b 2 a ) 和(c, ca b 2 a ) a?b) 2 2 xa 22 ? yb 22 ?1(a?b?0)的离心率是e? (c? ，方程 xa 22 ? yb 22 ?t(t 是大于0的 ? ca 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ? 2 ? yb 22 ?1 上的点.F1,F2为焦点，若?F1PF2??，则?PF1F2的面积为b2tan ? 2 （用余弦定理与 可得）. 若是双曲线，则面积为b2?cot. 二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义： PFPFPF 111 ?),asin?)?PF?PF?PF 222 ?2a?F1F?2a?F1F?2a?F1F 222 方程为双曲线无轨迹 F1,F2的一个端点的一条射线 N的轨迹是椭圆 第 1 页 ⑴①双曲线标准方程： xa 22 ? yb 22 ?1(a,b?0), ya 22 ? xb 22 ?1(a,b?0) . 一般方程：Ax2?Cy2?1(AC?0). ⑵①i. 焦点在x轴上： 顶点：(a,0),(?a,0) 焦点：(c,0),(?c,0) 准线方程x ?? a 2 c 渐近线方程： ?? a xa 2 ? yb ?0 或 xa 22 ? yb 22 ?0 ?0 ii. 焦点在y轴上：顶点：y(0,?a),(0,a). 焦点：(0,c),(0,?c). 准线方程：参数方程：? ?x?asec??y?btan? c . y a ? xb 或 ya 22 ? xb 22 ?0 ， 或? ?x?btan??y?asec? . ?cayb ②轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率e⑤参数关系c 2 . ④准线距 22 2ac 2 ；通径 2ba 2 . ?a?b,e? 22 ca . ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程 xa 22 ? ?1（F1,F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分 别为双曲线的上下焦点） “长加短减”原则： MFMF 12 ?ex0?a?ex0?a 构成满足MF1 ?MF 2 ?2a M?F1??ex0?aM?F 2 ??ex0?a （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线 不带符号） MFMF 12 ?ey0?a?ey0?a M?F1??eyM?F 2 ?? ?a?a ??ey ⑶等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y ??x ，离心率e? 2 . xa 22 ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实