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圆锥曲线经典例题及总结 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： x2y2y2x2 （1）椭圆：焦点在x轴上时2?2?1（a?b?0），焦点在y轴上时2?2＝1（a?b?0）。abab 方程Ax2?By2?C表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。 x2y2y2x2 （2）双曲线：焦点在x轴上：2?2 =1，焦点在y轴上：2?2＝1（a?0,b?0）。方程abab 。 Ax2?By2?C表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号） （3）抛物线：开口向右时y2?2px(p?0)，开口向左时y2??2px(p?0)，开口向上时x2?2py(p?0)，开口向下时x2??2py(p?0)。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 22（1）椭圆：由x,y分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x,y项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a最大，a?b?c，在双曲线中，c最大，c?a?b。 4.圆锥曲线的几何性质：x2y2 （1）椭圆（以2?2?1（a?b?0）为例）：①范围：?a?x?a,?b?y?b；②焦点：两ab 个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），四个顶点(?a,0),(0,?b)， ca2 其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线x??； ⑤离心率：e?，椭圆?0?e?1，ac e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。 x2y2?2?1（a?0,b?0）为例）（2）双曲线（以：①范围：x??a或x?a,y?R；②焦点：2ab 两个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），两个顶点(?a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 2cax2?y2?k,k?0；④准线：两条准线x??； ⑤离心率：e?，双曲线?e?1 ac b?e?e越小，开口越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：y??x。 a p2（3）抛物线（以y?2px(p?0)为例）：①范围：x?0,y?R；②焦点：一个焦点(,0)，其中p2 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y?0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）； cp； ⑤离心率：e?，抛物线?e?1。 a2 22x0y0x2y2 5、点P(x0,y0)和椭圆2?2?1（a?b?0）的关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆外?2?2?1；abab 2222x0y0x0y0（2）点P(x0,y0)在椭圆上?2?2＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆（1）短轴长为， 8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。 9、弦长公式：若直线y?kx?b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB 1?x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝? 1y1?y2，若弦AB所在直线2k方程设为x?ky?b，则AB y1?y2。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计 算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 抛物线： b2x0x2y2 在双曲线2?2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2；在抛物线abay0 py2?2px(p?0)中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=。 y0 提醒：因为??0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验??0！