[理学]第9章 代数系统.pptVIP

第三部分 代数结构 第九章 代数系统 第十章 群与环 第十一章 格与布尔代数 第九章 代数系统 内容提要 二元运算及其性质 代数系统 9.1 二元运算及其性质 定义 10.1 设S为集合，函数f: S×S→S称为S上的二元运算，简称二元运算 例： f: N×N→N，f(x, y)=x+y就是自然数集合N上的二元运算，即普通的加法运算 普通的减法运算不是自然数集合N上的二元运算，称N对减法运算不封闭 如何验证一个运算是否为S上的二元运算 S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是唯一的：函数定义的要求 S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是封闭的 例：实数集合R上不可以定义除法运算，因0?R, 而0不能做除数，但在R*=R-{0}上就可以定义除法运算，因? x,y ?R*,都有x/y ?R* 二元运算的例子 例9.1 (1) N上的加法和乘法是，但减法和除法不是 (2) Z上的加法、减法和乘法都是，而除法不是 (3) 非零实数集R*上的乘除法是，而加减法不是 (4) ∩,∪,-,⊕为S的幂集P(S)上的二元运算 (5) SS为S上的所有函数的集合，则函数的复合运算 ? 为SS上的二元运算 例9.1 (6) 设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合，即 则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算 二元运算的表示 通常用? , *, · , …等符号表示二元运算，称为算符. 设 f: S×S→S 是S上的二元运算，对任意的x, y∈S, 如果x与y的运算结果是z, 即 f(x, y)=z 可利用算符 ? 简记为 x ? y = z 例10.2 设R为实数集，如下定义R上的二元运算*: ?x, y∈R, x*y=x 计算3*4, (-5)*0.2, 0*(1/2) 解：3*4＝3, (-5)*0.2=-5, 0*(1/2)=0 一元运算 定义10.2 设S为集合，函数f: S→S称为S上的一个一元运算，简称为一元运算 例10.3 (1) Z、Q和R上求相反数 (2) 非零有理数集合Q*，R*上求倒数 (3) 在幂集合P(S)上，求集合的绝对补运算~ (4) A为S上所有双射函数集，求双射函数的反函数 (5) 在实矩阵的集合Mn(R)上，求转置矩阵的运算 一元运算的表示 与二元运算相似，也可用运算符表示一元运算. 若f: S→S是S上的一元运算，f(x)=y可以用运算符? 简记为 ?(x)=y 或 ?x=y 其中x是参加运算的元素，y为运算的结果 例： x的相反数-x、 集合A的绝对补集~A， -和~都是算符 运算表 一元运算表和二元运算表 表10.1 表10.2 运算表 例10.4 设S={1,2},给出P(S)上的运算~和⊕的运算表，其中全集为S 解： 运算表 例10.5 设S={1,2,3,4},定义S上的二元运算?如下： x?y＝(xy)mod 5, ?x,y∈S 求运算 ? 的运算表 解： 二元运算的主要性质1-交换律 定义10.3 设 ? 为S上的二元运算，若任意x, y∈S有 x?y＝ y?x 则称运算?在S上可交换，或者说?在S上适合交换律 实数集上加和乘是可交换的，但减法是不可交换的 P(S)上的∩、∪和⊕可交换的，但A-B不可交换 Mn(R)上的矩阵加法可交换，但乘法不可交换 AA上函数的复合运算不可交换，一般 f?g ≠ g?f 二元运算的主要性质2-结合律 定义10.4 设 ? 为S上的二元运算，若任意x,y,z∈S： (x?y) ?z ＝ x?(y ?z) 则运算?在S上可结合 普通的加法和乘法在N、Z、Q、R和C上都可结合 集合的∩、∪和⊕都是可结合的 矩阵加法和乘法是可结合的 函数的复合运算是可结合的 二元运算的主要性质3-幂等律 定义10.5 设 ? 为S上的二元运算, 若任意x∈S都有 x?x ＝ x 则称运算?在S上适合幂等律 若S中某些x满足x?x ＝ x，则称x为幂等元 若S上的运算?适合幂等律，则所有元素都是幂等元 A∩A=A且A∪A=A, 集合交和并运算适合幂等律，⊕运算和-运算一般不适合幂等律，但?是幂等元 普通的加法和乘法不适合幂等律，但0是加法的幂等元，1是乘法的幂等元 二元运算的主要性质4-分配律 定义10.6 设 ? 和*是S上的两个二元运算, 若x,y,z∈S x*(y?z)＝(x*y)?(x*z) (左分配律) (y?z)*x＝(y*x)?(z*x) (右分配律) 则称运算* 对?是可分配的，也称* 对?适合分配律 R上乘法对加法可