[理学]同济大学高数课件习题课2_3.pptVIP

　例8 设有一直角弯道，入口的宽度为 a ，拐弯处的 解 如图所示，铁杆的长度为 ，其中 从而 宽度为 8a ，求以水平方向通过的铁杆的最长长度． 令 得唯一驻点 即为 L 最小值点，从而 于是，铁杆的最大长度为 例9 在椭圆 上求一点 ，使它与 另两点 所构成的三角形面积为最小． 即 点 P 到直线的距离为 解 因线段 AB 固定，故欲使面积最小，即要使点 P 离开线段 AB 的距离为最小．线段 AB 的方程为 注意到点在直线的下方，即 ，故目标 故设 函数为 ，由于 令 得 求得 ，所求点的坐标为 解 例10 求曲线 的凹凸区间和拐点． 令 得 ． 中，曲线为凹的． 所以点 为拐点． 当 时 ；当 时 ， 　在区间 中，曲线为凸的，而在区间 例11 ⑴设曲线 在区间 I 上是凹的，试用归 正数 满足 ，则 纳法证明：若 是 I 内不完全相同的 n 个数， 算术平均值，即 ⑵利用⑴证明： n 个正数的几何平均值不超过它们的 假设命题在 n 时成立：即对 n 个不完全相同的数，有 证 当 时， 为两个不相同的数，正数 满足 即当 时命题成立； 则 记 　则对 个不完全相同的正数 及正数 ，满足 ． 设 因此 则 由于 不完全相同，故上式两个不等号至少 有一个为严格不等号，于是 而 故 即 即不等式成立． 　⑵ 设 ，则 的图形在定义域上是凸的， 即 对正数 ，取 ，有 取以 e 为底的指数，即得 * 习 题 课 一、曲线形态的讨论 内 容 要 点 二、函数的极值、最大值与最小值 三、曲率 　一、曲线形态的讨论 　1．单调性 　若函数 的导函数 ，且在任一个有限 区间内最多只有有限多个零点，则 单调增加； 　若函数 的导函数 ，且在任一个有限 区间内最多只有有限多个零点，则 单调减少． 则称函数 的图形是凹的 (或下凸的)； 2．凹凸性 　若函数 在区间 I 内满足： 　若函数 在区间 I 上满足: 则称函数 的图形是凸的 (或上凸的)． 下凸曲线 上凸曲线 　凹凸性的判定方法： 　⑴若函数 的导函数 单调增加，则 的图形是凹的； 的图形是凹的； 若函数 的导函数 单调减 少，则 的图形是凸的． 　⑵若函数 二阶可导，且 ，则 若 ，则 的图形是凸的． 　若函数 的图形在点 的两侧有不同 的凹凸性，则称该点为图形的拐点． 　1．极值 当 ，有 　若函数 在点 满足：存在 的邻域 则 为 的极大值， 称为极大值点；若 则