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Ch5 留数 §1 孤立奇点 1. 孤立奇点 分类 1) 可去奇点 定理： 2) 极点 例如： 定理： 例如 定理： 3) 本性奇点 例如： 2. 函数的零点与极点的关系 例1. 定理： 3. 函数在无穷远点的性态 定理： 例如： 定理： 例2. 例3. 解： §2 留数 1. 留数定义 2. 留数定理 3. 留数计算 例1. 例2. 例3. 例4. 例5. 例6. 4. 无穷远点的留数 例7. 定理: 例8. §3 用留数定理计算实积分 1. 计算 型积分 例2. 例3. 例4. 解: 例5. 例6. 作业 P68 1.(2)(4)(5)(7) 2. 4.(2)(5)(6) 5.(2)(4)(5) 6.(1)(2) 7.(1) 8.(1)(2) 9.(1)(3) ch5 留数习题课 2) 3) 5) 2. 留数 2) 留数计算规则 3. 留数应用 二、典型例题 例2. 解: 例3. 例5. ? 计算积分 解： 一、知识要点 1. 孤立奇点 1) 4) 零点 1) 留数定理 1) 2) 3) 例1. 解： 或 证： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 定义： 解： 解： 2. 计算 型积分 3. 计算 型积分 1.计算 型积分. 当 经历变程 时,z沿圆周|z|=1的正方向绕 方法 令 行一周.因此有 例1. 解： ? 计算积分 首先，这是一个广义积分，它显然是收敛的. 作以O为心、r为半径的上半圆盘. 解： 我们应用留数定理来计算它. 考虑函数 这个函数有两个二阶极点， 在上半平面上的一个是 z = i. 2.计算 型积分 设上半圆盘边界为Cr. 取 r 1，那么 z = i 包含在Cr的 内区域内. 沿 Cr 取 f (z)的积分， 得 现在估计积分 我们有 因此 令 ,就得到 从而 定理： 为互质多项式,且满足: 为有理分式,其中 则有 计算积分 解： 共有四个一阶极点为±ai,±bi, 其中只有ai,bi, 这里 在上半平面内. 3.计算 型积分 且满足: 定理: 为有理分式, 则有 而 故先计算下列积分 计算积分 解： 计算积分 * 1. 孤立奇点 2. 零点与奇点的关系 3. 无穷远点 定义： 可去奇点： 极 点： 本性奇点： 孤立奇点 定义： 例如： （有限数） 例如： 定义： 定义： 定理： 有限数 无限数 任意数 定义： 定理： 解： 定义： 规定 为本性奇点， 为可去奇点. 为一级极点， 为非孤立奇点. 那么 为可去奇点 为极点 为本性奇点 注： 的性态分析法 (1) 洛朗级数法 (2) 极限法 的孤立奇点， 设 是 确定函数 的有限奇点的类型. 解： 因为 所以， 的奇点是 由于 所以 指出下列函数在扩充复平面上的奇点， 并说明类型. 是三级极点； 是二级极点； 令 得 是 的二级极点， 故 是 的二级极点. 都是一级极点； 当 时， 是一级极点. 是可去奇点； 是本性奇点. 1. 留数定义 2. 留数定理 3. 留数计算 4. 无穷远点的留数 定义：