[工学]随机变量的方差、协方差与相关系数4-2.ppt

*3. 方差、协方差具体计算中常用数学期望的别称 ⑴ k 阶原点矩 2. 常用幂函数与复合幂函数的数学期望及其别称 ⑴ k 阶原点矩 例4 -1 已知 X 的分布律如下表所示，试求 E ( X )， E ( X 2 ) 和 E ( 2X－3X 2 ). 例4-2 已知 (X ,Y )的联合分布律如右表所示. 求 E( X ), E ( Y ) , E ( X＋Y ) 和 E ( XY ) . 例4-3 随机变量X 的概率密度 Y = 2X 和 Y = e -2X 的数学期望。 例4 -4 ( X , Y ) 的概率密度 ⑴ E (X) , E (Y ) ； ⑵ E (XY) , E (X 2+Y 2) . 例4 -4 ( X , Y ) 的概率密度 ⑴ E (X) , E (Y ) ； ⑵ E (XY) , E (X 2+Y 2) . 例4-5 X 和Y 相互独立, 二者的概率密度 则 E (XY ) ＝ ( ). 退出 返回 12 合格品取出之前所取废品数 X 的分布列为 P112~P113参考答案 1/8 1/8 5/8 9/12 Pi 3 2 1 0 X ∵ 第 k 次才取到废品的概率 12. 退出 退出 一 四 三 退出 二 式给出的平均波动，称为二者的协方差，记为 退出 返回 1. 方差、协方差与相关系数的定义 ⑴ 随机变量X 对其均值的偏差以差的平方的形式所给出 的波动，称为该随机变量的方差，记为 亦即 ⑵ 两随机变量X 与Y 对各自均值的偏差以差之乘积的形 亦即 比值，称为二者的相关系数，记为 ⑶ 两随机变量X 与Y 的协方差与该二变量标准差乘积的 亦即 方差的算术平方根 称为随机变量的标准差. 退出 返回 2. 方差与协方差的理论计算公式 ⑴ 对离散型变量 ⑵ 对连续型变量 或 或 易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广 并且显然还有 退出 协方差（含相关系数） ( 设 C 是常数 ) 方差 2) 当 X 与Y 相互独立时, 恒有 1) 3) 4) 当 X 与Y 相互独立时, 恒有 3) 1) 2) 4) 退出 方差与协方差（含相关系数）重要性质选证一 返回 又∵ X 与Y 相互独立时, 总有 当 X 与Y 相互独立时, 恒有 ∴ 以及 从而, 作为协方差的特例，方差也应有 证 退出 方差与协方差（含相关系数）重要性质选证二 返回 惟当 X 与Y 相互独立时, 故此时必恒有 ∴ 一般而论, 总有 由于 证 退出 方差与协方差（含相关系数）重要性质选证三 返回 以及 其中 X* 与 Y * 是标准随机变量, 并且显然满足 证 即满足 可见 【说明】本例只能求前者的方差 退出 方差 数学期望 返回 D( X ) = 4, D( Y ) = 1, D( Z ) = 3. 试求随机变量 U = 2X + 3Y + 1 解 例2-1 设 X, Y , Z 相互独立, E( X ) = 5, E( Y ) = 11, E( Z ) = 8. 与随机变量V =YZ－4X 的数学期望和前者的方差. 难以准确地求出后者的方差. 事实 上，后者的方差只能求出一部分 退出 返回 1. 方差的具体计算公式与实际计算步骤 ⑴ 对离散型变量 ⑵ 对连续型变量 退出 返回 2. 协方差的具体计算公式与实际计算步骤 ⑴ 对离散型变量 ⑵ 对连续型变量 是 X 与Y 的协方差. 退出 返回 【注】 就是 X 的数学期望. X 的一阶原点矩 是 X 平方的数学期望. X 的二阶原点矩 X 的二阶中心矩 是 X 的方差. ⑷ k + l 阶混合中心矩 ⑵ k + l 阶混合原点矩 ⑶ k 阶中心矩 X 的二阶混合原点矩 是 X 与Y 乘积的数学期望. X 的1+1阶混合中心矩 退出 返回 3. 方差与协方差的实际计算公式与计算步骤 ⑵ 对连续型变量 或 易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广 或 退出 返回 【注2】 显然，对连续随机变量而言 ⑵ k 阶中心矩 X 的一阶原点矩 X 的二阶原点矩 X 的二阶中心矩 1/8 1/8 5/8 1/8 Pi 9 4 3 2 X 解 退出 返回 解 0.8 0.2 P i . 0.1 0.9 P. j 0 0.1 1 0.8 0.1 0 1 0 X Y 0 0.1 1 0.8 0.1 0 1 0 X Y 注意: 但一