[工学]第五章数值计算.pptVIP

主要内容 第五章 数值计算 5.1 线性代数 5.2 函数分析 5.3 数据拟合 5.4 插值和样条 5.5 常微分方程的数值解 5.1 线性代数 一、LU分解 1. LU分解 　　一个矩阵可以分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积，称之为LU分解。LU分解是用高斯主元消去法实现的，通常要对主元位置进行交换，主元交换的方法是将被分解矩阵左乘一个由0－1构成的行交换阵。 【调用格式】 [L, U, P] = lu(X) 对矩阵X进行LU分解，并进行主元交换 [L, U] = lu(X) 对矩阵X进行LU分解，无主元交换 【说明】 X为被分解的矩阵，L为主对角元素为1的下三角矩 阵，U为上三角矩阵，P为行交换矩阵。 5.1 线性代数 2. 行列式和求逆 矩阵的行列式和求逆可以通过LU分解的方法求解，Matlab提供了相关函数。 【调用格式】 d = det(X) 求矩阵X的行列式 Y = inv(X) 求矩阵X的逆矩阵 例5.1.1 5.1 线性代数 二、特征值和特征向量 对于求解矩阵的特征值和特征向量，Matlab提供了eig函数。 【调用格式】 D=eig(A) 计算矩阵A的特征值，d为特征值构成的向量 [V , D]=eig(A) 计算矩阵A的特征值对角阵D和特征向量矩阵V [V , D]=eig(A , nobalance) 当矩阵A中有与截断误差近似的数值，用本指令 例5.1.2 三、奇异值分解 1.矩阵的奇异值分解 任意矩阵A可进行奇异值分解，即存在酉矩阵U和V，使下面等式成立 其中 称为矩阵的奇异值。 5.1 线性代数 【调用格式】 s = svd(A) 求矩阵A的奇异值，s为由奇异值 构成的向量 [U , S , V] = svd(A) 矩阵A的奇异值分解 5.1 线性代数 2.矩阵结构特征的奇异值描述 　　矩阵的奇异值可以描述矩阵的结构特征。有关矩阵结构特征的MATLAB 函数有如下几种。 r = rank(A, tol) 在指定容差tol下，求矩阵A的秩。tol可以省略。 Z = null(A) 求矩阵A的零空间。 V = orth(A) 求矩阵A的值空间。 n = norm(A) 求矩阵A的2范数。 n = norm(A ,p) 求矩阵A的各种范数。 c = cond(X, p) 求矩阵A的条件数，p可以省略。 theta = subspace(A, B) 求A和B矩阵所张子空间的夹角。 B = pinv(A, tol) 　 在指定容差tol下，求矩阵A的 广义逆，tol可以省略。 5.1 线性代数 四、线性方程组的解 形如 的线性方程组中 独立方程的个数等于独立未知参数的个数称为恰定方程； 独立方程的个数大于独立未知参数的个数称为超定方程； 独立方程的个数小于独立未知参数的个数称为欠定方程。 针对不同情况，可以采用以下3种方法求解： 1. 左除运算符法 对于一般的非奇异矩阵A，可以求得唯一数值解。欠定 方程和超定方程，可以获得最小二乘解。 x=A\b 5.1 线性代数 2. 广义逆法 如果用左除运算符求解的时候出现提示矩阵A为非奇异的警告或者解中出现Nan，则可以采用广义逆法。 x=pinv(A)*b 3. 符号计算法 可以求得方程组的符号解，对于欠定方程可以求得具有自由变量的解。 5.1 线性代数 例5.1.3 求以下3个方程组的解 I： II： III： 5.2 函数分析 一、函数的零点 1. 多项式的根 　　通过roots函数来求取多项式全部的根。 【调用格式】 r = roots(p) 多项式求根函数，求取多项式的全部根 【说明】 p为多项式的系数行向量，r为多项式所有根构成的列向量 5.2 函数分析 2.一元函数零点 【调用格式】 [x, fval, exitflag, output] = fzero(fun, x0, options)