[工学]广义变分原理与有限单元法2.ppt

固体力学非线性数值方法 西安交通大学航天航空学院 宋亚勤 yqsong@mail.xjtu.edu.cn 2009年9-10月 最小余能原理的泛函（总余能）： （1）Hellinger-Reissner(1914,1950)： H-R原理的泛函： =0 （2）Hu-Washizu(1954,1955)： （赝广义变分原理？？？） H-W原理的泛函： （1）修正的势能原理： （2）修正的余能原理： 第二章 线性有限元方法 线性本构关系（1/3） 线性本构关系（2/3） 线性本构关系（3/3） 几何关系 控制方程（1/6） 控制方程（2/6） 控制方程（3/6） 控制方程（4/6） 控制方程（4/6续） 控制方程（5/6） 控制方程（6/6） 控制方程（6/6续） 有限元方程的建立（1/3） 有限元方程的建立（2/3） 有限元方程的建立（3/3） 有限元方程的建立（3/3续） 三结点三角形单元形函数的构造 有限元形函数的构造 有限单元形函数的构造 有限单元形状函数的构造 有限单元形状函数的构造 有限单元形状函数的构造 对于一些曲线边界的结构，采用直边界单元，存在以折线代替曲线所带来的误差，这种误差随单元数量的增加而增加，并且其误差无法用提高位移函数的精度来补偿。 有限单元形状函数的构造 等参数单元 是由泰格（Taige,I.C，1961)和埃昂斯(Irons,B.M，1966)首先提出和推广的，是位移模型单元中应用最广的一种单元。 在平面问题中，常常将原来整体坐标系 中四结点四边形单元等单元变换为局部坐标系 中的规则的正方形，在进行有限元分析，其坐标变换和位移模式采用相同数目的结点参数及相同的形函数，这种变换方式能满足坐标的相容性。采用等参数变换的单元称之为等参数单元。 形状函数插值精度 有限单元形状函数插值精度判断 ： 形状函数插值精度 有限元分析的执行步骤与收敛准则 有限元分析的执行步骤与收敛准则 有限元分析的执行步骤与收敛准则 谢谢！ 请提问、进行讨论！ 单元应力 （物理方程） （上式是对于平面应力问题） 单元刚度矩阵 结点力和结点位移的关系 平面应力问题 平面应变问题 单元刚度矩阵的力学意义和性质： 可利用最小势能原理建立一个单元的求解方程如下： 其中 为单元等效结点载荷， 为其它相邻单元对该单元的作用力。 上式展开形式为： 单元刚度矩阵的力学意义和性质： 令 ，则可得： 第一列元素的物理意义是： 当 ，其它结点位移都为零时，需要在单元各结点位移方向上施加的结点力的大小，单元在这些结点力的作用下处于平衡，在在x和y方向上的结点力之和应为零，即： 对于其它列的元素也可以用同样的方法得到它们的物理解释，即单元刚度矩阵中任已元素 的物理意义为：当单元的第j个结点位移为单位位移而其它结点位移为零时，需在单元第i个结点位移方向上施加的结点力的大小。 单元刚度矩阵的力学意义和性质： 单元刚度矩阵的性质： 1.对称性； 通过对单元刚度矩阵与其转置矩阵的比较可显然得到。 2.奇异性； 3.主元恒正 的物理意义为：要使结点位移 ，而其它位移为零时，施加在 方向的结点力，由于施加在 方向的结点力必须与位移 同向，即恒正。 单元等效结点力（体力和面力） 分布边界力的等效结点荷载 ij边上均布力px ij边上三角形荷载px 局部坐标 s 分布体积力的等效结点荷载 三角形单元作用体积力 结点平衡方程与整体刚度矩阵 对单元e，所受结点力为 结点i受单元e的力为Ui，Vi，环绕i结点其他单元一起所施加的力 结点i从周围各单元移置的结点荷载为 整体刚度矩阵的集成 结点平衡法 按整体编码表示为： 按照单元刚度结点力和位移关系： 直接刚度法 把每个单元的单刚阶数扩大为整体刚度矩阵阶数。 把单刚中按局部编码的子块搬到整体刚度矩阵中整体编码的位置中去，余下的部分用零子块填充 把各单元刚度矩阵的贡献矩阵叠加在一起 得到了单元刚度矩阵后，刚度矩阵的集成或组装按照“对号入座”叠加到 结构刚度矩阵和结构载荷列阵中即可，例如： 单元的结点码i,j,m分别对应为整体结构的结点码3,8,2 对号入座法 整体刚度矩阵的特点 ①整体刚度矩阵具有对称性 由于单元刚度矩阵是对称的，所以由单元刚度矩阵集成所得的整体刚度矩阵也是对称的。 ②整体刚度矩阵具有稀疏性 连续体离散为有限个单元体时，每个结点的相关单元只是围绕在该结点周围为数甚少的 几个，