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东莞理工学院高等数学练习2答案 填空题（每小题3分，共18分） 1．过点且与平面垂直的直线方程是. 2．函数在点处的梯度. 3．交换二次积分的次序：=. 4．设是周长为的椭圆，则. 5．级数的敛散性是 收敛 . 6．微分方程的通解是. 1．已知直线和平面，则直线与平面的位置关系是（ C ）A. B. C. D. 与斜交 2．是数项级数收敛的（B） ，取外侧，则（ C ）与上半球面所围体积可表示为 ( A ) A. B. C. D. 5．设函数是以为周期的周期函数， 则的傅立叶级数在处收敛于( B )A. B. C. D. 6．微分方程的通解为( D ) A. B. C. D. 三、计算题（每小题7分，共49分） 1． 求过点且与直线垂直的平面方程. 解: 平面的法向量， 所求平面为 ，即 2．设函数，，，求. 解: 3．设函数是由方程所确定的隐函数，试求. 解: 对方程两边对求导，得：， 整理得： ，再对求导，得： 4．计算，其中是由圆周所围成的闭区域. 解: = 5．计算，其中为上半圆周从到的弧. 解: 添加辅助线段，它与所围成的区域为，则 原式 6．求级数的收敛域及和函数. 解: 收敛半径：，当时，该级数发散；当时，该级数收敛.所以收敛域为. = , 7．求微分方程的通解. 解: = ==（C为任意常数） 四、（7分）设具有二阶连续导数，，且满足全微分方程：，求函数. 解: 由全微分方程的充要条件知 即 （*） 特征方程 ，特征根 设特解为 ， 将代入方程（*）得 方程（*）的通解为 解得 五、（8分） 解下列问题： (1) 求曲面上点处的切平面； (2) 在(1)题中求一切点，使切平面与三坐标面所围成的体积最大. 解: (1) 曲面上点处的法向量 ，在点处的切平面方程为 即 (2) 切平面在三个坐标轴上的截距分别为，故切平面与坐标面围成的四面体体积为，问题归结为求函数当时的最大值点. 令 ， 由可解得 即所求切点坐标为. 2 1