大学代数习题答案2.doc

线性代数学习指导 第二章 矩阵 (P109)知识点: 矩阵运算及运算律. 4.A=PΛQ, P=,Λ=,Q= A10=(PΛQ) (PΛQ) (PΛQ)…(PΛQ).∵QP===E, ∴A10=PΛ(QP)Λ(QP)Λ(QP)Λ…(QP)ΛQ=PΛ10Q= = = 5. An=(BTC) (BTC) (BTC)…(BTC)= BT(CBT)(CBT)(CBT)…(CBT)C= BT(CBT)n-1C. ∵CBT =, ∴(CBT)n-1 =3n-1E1,An=BT3n-1C=3n-1 BTC=3n-1. 以上两题都是利用矩阵乘法的结合律化简A的幂. 6.设A,B都是n阶対称矩阵,证明:AB是対称矩阵的充要条件是AB=BA. (讲解:若A(B,则A为B的充分条件,B为A的必要条件.由题意, 要证条件AB=BA对AB为対称矩阵即是充分的,又是必要的) 先证充分性(由AB=BA(AB为対称矩阵) (AB)T=BTAT=BA=AB, ∴AB是対称矩阵. 再证必要性(由AB为対称矩阵( AB=BA) ∵AB是対称矩阵, ∴AB=(AB)T= BTAT=BA,得证. 8.AC-BA=2BTC中, A=,B=为已知,欲求C的行列式.先移项:AC-2BTC = BA, ( A-2BT)C = BA,(注意:C为等号左边两项的右公因子,由分配律,提出后亦为右因子). 两边取行列式: |( A-2BT)C| =| BA|,|( A-2BT)||C| =| B||A|,|A|=-2, | B|=-2, ( A-2BT)= -2=, |A-2BT |=-6, ∴|C| =. (P108)知识点: 逆矩阵 10(2)A=,求A-1.A阶数较高,用初等行变换方法: [A|E]= =[E |A-1], ∴A-1= 13.已知AP=PB,B=,P=,求A及A5. 解:A=PBP-1, A5=(PBP-1) (PBP-1) (PBP-1)(PBP-1) (PBP-1)=PB5P-1, B5=B, P-1=, ∴A 5=A=() ==. 14.设A=,AB=A+2B,求矩阵B. 解:AB-2B=A, (A-2E)B=A,(注意:①第二项提出B后不是2;②B看成两项的右公因子,提出后也在右边).解得B= (A-2E)-1A=. 15.设3阶方阵满足A-1BA=6A+BA,且A=,求矩阵B. 解: A-1BA- BA =6A, 等号左边两项提出公因子BA(注意BA为右因子,必须写在右边)： (A-1-E )BA =6A (括号里第2项不能写数1) 两边左乘(A-1-E )-1,右乘A-1,解得:B=6(A-1-E )-1, A-1=, A-1-E=,(A-1-E )-1=, ∴B=6(A-1-E )-1=6=. (本题知识点:对角阵的逆矩阵公式) 16. 设方阵A满足A100=O,证明: (E-A)-1= E+A+A2+…+A99. ∵(E-A)(E+A+A2+…+A99)= E-A+A- A2+ A2-…+A99-A100=E-O=E, ∴(E-A)-1=E+A+A2+…+A99. (本题知识点:定理4推论及分配律)