[理学]7章应力状态.ppt

三向应力状态的广义胡克定律——叠加法 叠加 广义胡克定律的一般情形 注意 （1）线应变只与正应力有关，与切应力无关； 切应变只与切应力有关，与正应力无关。 （2）一个方向的线应变不仅与该方向的正应力 有关，而且与两个垂直方向的正应力有关。 因此，考察一个方向的线应变时，需要考虑 三个互相垂直方向的正应力。 dx dy dz 二、体积胡克定律 单元体原体积V=dxdydz 变形后的体积 体积应变 体积弹性模量 平均应力 t 2.求t 3.求Me 例题 45° Me K Me 解：1. 由应力状态分析画单元体 已知: 扭转材料的 求: Me 45° s3=－t K s1=t 一、外力功与应变能 §7.7 弹性固体的应变能 1. 外力功W 载荷在其作用点位移上所做的功。 F A (1) 常力做功 F B D W=FD M M q W=Mq D F D F dD FP 对于一般弹性体 F-D 图下方面积 (2) 静载做功 静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到 弹性体上的载荷，静载做功属于变力做功。 对于线弹性体 D F F D 2. 应变能Ve 弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。 由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能Ve 在数值上等于外力所做的功W。（忽略能量损失） 即 Ve= W F为广义力，D为广义位移。 二、线弹性体的应变能 1. 轴向拉压 l F F Dl Dl FN为变量时 F 2. 扭转 Me j j Me Me MT为变量时 3. 平面弯曲 横力弯曲时忽略剪力对应变能的影响，如矩形截面，当 l /b=10时，剪力的应变能只占弯矩应变能的 3﹪. 纯弯曲 横力弯曲M(x)为变量 M M dx 应变能Ve是内力（FN、MT、M）的二次 函数，应变能一般不符合叠加原理。但若几 种载荷只在本身的变形上做功，而在其它载 荷引起的变形上不做功，则应变能可以叠加。 三、线弹性体的应变能密度 应变能密度 dx dy dz 1. 单向拉压的应变能密度 dx dy dz 2. 纯剪切的应变能密度 g 3. 复杂应力状态下的应变能密度 三向应力状态下，假定各主应力按比例同 时从零增加到最终值，每一主应力与相应的主 应变仍为线性关系，所以 复杂应力状态下的应变能密度为 复杂应力状态下的应变能密度v e 因体积变化、形状不变而储存的应变能密度。 体积改变能密度vV 畸变能密度vd 因形状改变体积不变而储存的应变能密度。 图示单元体三个正应力相 等，只有体积改变能。 图示单元体三个正应力不 相等，且三个正应力之和 为零，只有形状改变能。 注意：由于应力、应变与应变能密度不是线性关系， 所以应变能密度一般不符合叠加原理。 注意 畸变能密度vd 单向应力状态时： 二倍角对应 ? 2? 转向对应 n x A B C O 点面对应 D 2. 单元体斜截面上的应力 2? C O 2?0 A B ? D D1 3. 主应力值及主平面方位 C O E F 主应力值 主平面方位 2?0 C O A1 ?0 A B F E E F ?0 2a0 4. 面内最大切应力值及其作用面方位 A O C B E F A B F E 应力圆上的最高点的切应力最大，即为面内最大 切应力，其作用面与主平面的夹角为450。 C1 C2 s t s t t s O sx sx A 单向拉伸 A B B C 2×450 2×450 D D E E 纯剪切 t t s3=－t A B D E A (0,t ) t s O C B (0,-t ) D E s1＝t 例题 求：1. 指定斜截面上的应力； 2. 主平面； 3. 主应力； 4. 面内最大切应力； 5. 画出主应力单元体。 30° 40 20 10 ?x =－20 MPa； ?y= 40 MPa ?xy= 10 MPa； ? = 30 o 30 ° y x 已知：单元体如图，图中应力单位为MPa。 解析法: （ 1 ）建立坐标系 30° 40 20 10 （2）求sa ，ta =－13.7 MPa 注意: sa ，ta 算好后按实际方向画在原图上 ta sa （3）求主平面 a0 = 9.22°, 99.22° （4）求主应力 30° 40 20 10 ta sa ∴ s1= 41.6 MPa, s2 = 0 s3=