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曲线积分与曲面积分 二、简单的应用 二、物理意义----通量与散度 四、小结 思考题 曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？ 思考题解答 曲面应是分片光滑的闭曲面. 作 业 习题9-6 (160页) 1.(1) (2) (5) 2. 3. 练 习 题 练习题答案 * 格林公式把平面上的闭曲线积分与 本节的高斯公式表达了空间闭曲面 上的曲面积分与曲面所围空间区域上的 它有明确的物理背景— 三重积分的关系. 所围区域的二重积分联系起来. 通量与散度. 一、高 斯 公 式 证明思路 分别证明以下三式, 从而完成定理证明. 只证其中第三式, 其它两式可完全类似地证明. 证 设空间区域Ω 母线平行于z轴的柱面. 即边界面 三部分组成: (取下侧) (取上侧) (取外侧) 由三重积分的计算法 投影法(先一后二法) 由曲面积分的计算法 取下侧, 取上侧, 取外侧 一投,二代,三定号 同理 ------------------高斯公式 和并以上三式得： * 若区域Ω的边界曲面 与任一平行于坐标轴 的直线的交点多于两点时, 可以引进几张辅助的 曲面把Ω分为有限个闭区域, 使得每个闭区域满 足假设条件, 并注意到沿辅助曲面相反两侧的两 个曲面积分的绝对值相等而符号相反, 相加时正 好抵消. 因此, 高斯公式对这样的闭区域仍是正 确的. Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一种形式： 高斯公式为计算(闭)曲面积分提供了一个新途径, 它能简化曲面积分的计算. 解 使用Guass公式时应注意: 解 空间曲面在 面上的投影域为 曲面?不是封闭曲面, 为利用高斯公式 根据对称性可知 故所求积分为 有时可作 辅助面, (将辅助面上的积分减去). 化为闭曲面的曲面积分, 然后利用 高斯公式. 对有的 非闭曲面 的曲面积分, 解 (如图) 计算曲面积分 绕y轴旋转曲面方程为 一周所成的曲面, 它的法向量与y轴正向的夹角 绕y轴旋转 取右侧. 有 高斯公式 柱坐标 取右侧 故 例 解 外侧. 能否直接用 点(x,y,z)在曲面上, 然后再用高斯公式. 可先用曲面方程将被积 因被积函数中的 函数化简， 高斯公式 证 利用高斯公式，即得 1. 通量的定义: 2. 散度的定义: 散度在直角坐标系下的形式 积分中值定理, 两边取极限, 高斯公式可写成 * 例 向量场 研究生考题,填空(3分) 解 3．应用的条件 4．物理意义 2．高斯公式的实质 1．高斯公式