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有限元法(平面问题)
Vehicle intro_B rev. 2 弹性力学基本概念 弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下应力和变形规律的一门学科。 弹性力学的基本方程包括平衡方程、几何方程、物理方程。 弹性力学的基本假定: 1)均匀连续,2)小变形,3)线弹性, 4)各向同性。 虚功原理的概念 虚功原理的表述:一组平衡力系作用于 任何一组连续位移时,外力系所作的功 等于内力系所作的功。 为应用方便,加两个限制: 1.外力系不包括约束力; 2.连续位移符合位移约束; 实质是预先使约束力所作的功为零。 虚功原理的证明 1.以刚性杠杆为例证明 2.以拉压弹性杆件为例证明 3.以平面应力问题为例证明 平面问题的虚功方程是变形体虚功方程特例,形式是一致的。 t为板厚 外力: 虚位移: 虚应变: 应力: (4-13) 三角形单元的刚度矩阵(单刚) 如图所示,三角形单元的结点位移和结点力为: 结点位移: 结点力: 给定一个虚位移: 产生虚应变: 单元的外力虚功为: 单元的内力虚功为: 由虚功原理知: 三角形单元的刚度矩阵(单刚) 把等式右侧的应力和虚应变换成位移和虚位移表示: 三角形单元的刚度矩阵(单刚) 代入虚功方程右侧: 及 都与x,y 无关 ,所以 三角形单元的刚度矩阵(单刚) 令: 则: (4-14) (4-15) 式(4-14)为三角形单元的单刚,式(4-15)为三角形单元的单元刚度方程。 由于[B]和[D]均为常数矩阵。故有: 结构刚度矩阵—总刚 一、 结点的平衡方程 结构离散如图所示,取出结点3来研究结点的平衡。 结构刚度矩阵—总刚 首先写出各单元的单元刚度方程。 对结点3列出平衡方程: 外力: 内力: 由平衡条件: 结构的总刚度矩阵可由结构全部结点的平衡方程写出。仅以例中的结构,第3 结点的平衡方程说明如何建立该结构的第三个方程(子块) 结构刚度矩阵—总刚 二、 总刚的形成 按结点形式展开结点3 的平衡方程: 注意到: 结构刚度矩阵—总刚 把该结构的总刚中第3个子块写出: 在总刚度方程中,总刚矩阵的第3行(子块)的元素为第3 个结点全部相关单元的单刚中对应下标的元素(子块)之和。 同理,由结构其余结点平衡方程,我们可以得到总刚的全部内容: 结构刚度矩阵—总刚 更一般的是,对于一个结构,若将其离散为m 个单元,n 结点则有: 结构刚度矩阵—总刚 子块 总刚形成方法: 结构刚度矩阵—总刚 1. 对角线子块 为:结点i 相关单元(e)的单刚中 求和。即 2. 非对角线子块 , 例:集结下面离散结构的总刚 结构刚度矩阵—总刚 二、总刚度矩阵的性质 结构刚度矩阵—总刚 1. 总刚[k]为对称矩阵。 (子块) 2. 总刚是一个奇异矩阵 3. 总刚是一个稀疏矩阵 约束处理:主要目的是消除刚体位移。 约束处理 处理方法与一维问题相同 载荷处理(载荷移置) 问题的提出 在有限元法中,结构离散后,单元之间的联系及单元间力的传递都是通过结点实现的。在推导单元刚度方程及结构的总刚方程时,也都作了一个假设,那就是:作用于单元上及结构上的载荷为结点载荷。那么到目前为止,对于一个弹性力学的平面问题,如果作用于结构上的所有荷载都是结点载荷(集中力),就已经可以用有限元法求解问题了。 但是,在实际的工程问题中,作用于一个结构上的载荷是多种多样的,也是比较复杂的。必须对任何种类的荷载都能用结点荷载来表示。 结构上各种载荷的种类: 非结点的集中力(单元上某一点) 体积力(单元内分布) 面力(单元边界上分布) 但目前载荷的等效,均由计算机完成,所以不作要求。 载荷处理(载荷移置) 例 如图1-17a所示两端固支的矩形深梁,跨度为2a,梁高为a,截面宽度为h,已知, ?=0、E,承受均布压力q。试用有限元法解此平面应力问题。 a 2a q 图1-17 (a) 利用对称性,可取梁的一半分析,共分2个单元,4个结点,支座约束如(a)图。 [解] 1、划分单元。 1 2 4 3 ① ② ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 1 2 3 4 x y ① ② ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ a a qa/2 (b) 图1-18 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ a a 1 2 3 4 7 8 5 6 (C)自由度 * 第四章 平面应力问题有限元法 平面应力问题弹性力学基本方程 虚功原理 平面应力问题单元分析 总体分析—集成整体刚度矩阵 约束与载荷处理
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