高考数学一轮复习课时作业 42（北师大版）含解析.docVIP

课时作业(四十二) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题 1．已知向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是(　　) A．ac，bc B．ab，ac C．ac，ab D．以上都不对 解析：c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)，a∥c. 又a·b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，a⊥b. 答案：C 2．(2012年厦门模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为(　　) A. B. C. D. 解析：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)， cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝. 答案：B 3．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：由于cos〈m，n〉＝－，〈m，n〉＝120°，所以直线l与α所成的角为30°. 答案：A 4．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(　　) A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 解析：cos〈m，n〉＝＝＝， 即〈m，n〉＝45°. 两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°. 答案：C 5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO、AM的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直 解析：建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)， M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，＝(－1,0，－2)，＝(－2,0,1)，·＝0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直． 答案：C 6．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1底面ABC，AB＝BC＝AA1，ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 解析：以B点为坐标原点，以BC、BA、BB1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2， 则B(0,0,0)，C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)， ＝(0，－1,1)，＝(2,0,2) cos〈，〉＝ ＝＝.EF与BC1所成角为60°. 答案：B 二、填空题 7．(2012年宁波模拟)若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________. 解析：由已知得＝＝， 8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝. 答案：－2或 8．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________． 解析：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. 设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P. 则＝(2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)． 设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，则cos〈，n〉＝＝＝. 〈，n〉＝60°， 直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°. 答案：30° 9．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1－B1的大小为________． 解析：建系如图． 设A(1,0,0)，D1(0,0,1)， B(1,1,0)，B1(1,1,1) C(0,1,0) 则＝(－1,1,0)为平面BB1D1的一个法向量． 设n＝(x，y，z)为平面ABD1的一个法向量． 则n·＝0，n·＝0. 又＝(－1,0,1)，＝(0,1,0)， ∴ 令x＝1，则z＝1， cos〈，n〉＝－， 〈，n〉＝120°，即二面角A－BD1－B1的大小为120°. 答案：120° 三、解答题 10．(2013年长春调研测试)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，ABBC，O为AC中点． (1)证明：A1O平面ABC； (2)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值； (3)在BC1上是否存在一点E，使得OE平面A1AB？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由． 解：(1)AA1＝A1C＝AC＝2，且O为AC中点， A1O⊥AC，又侧面AA1C1C底面ABC，交线为AC，A1O面A1AC， A1O⊥平面ABC. (2)如图，以O为原点，分别以OB