[理学]第6章 插值法-1.pptVIP

插值与拟合的基本问题; 在工程实践和科学实验中，经常需要建立函数关系，即y=f(x)。虽然从原则上说，它在某个区间[a,b]上是存在的，但通常只能观测到它的部分信息，即只能获取[a,b]上一系列离散点上的值，这些值构成了观测数据。这就是说，我们只知道的一张观测数据表。;而不知道函数在其他点x上的取值，这时只能用一 个经验函数y=g(x)对真实函数y=f(x)作近似。; 下面两种办法常用来确定经验函数y=g(x);已知数据表;插值的任务就是由已知（离散）的观测点(xi,f(xi))为物理量(未知量)，建立一个简单的、连续的解析模型g(x) ，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。;o;;;o;;内容提要;插值法:由实验或测量的方法得到所求函数 y=f(x) 在互异节点x0 , x1, ... , xn 处的值 y0 , y1 , … , yn , 构造一个简单函数 F(x) 作为函数 y=f(x) 的近似表达式，即;(a)式称为插值条件。;插值函数的类型;; 当插值函数是代数多项式时，插值问题称为代数插值。;定理1 设x0 ,x1,…,xn 是n+1个互异节点,函数f(x)在这组节点的值yk=f(xk)(k=0,1,…,n)是给定的，;证明;ai(i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde行列式：;证法二：假设另有多项式qn(x) 也满足条件,令 h(x)=pn(x)-qn(x), 则h(x)也是次数不超过n的多项式,且 h(xk)=pn(xk)-qn(xk)=0 ,k=0,1,...,n. 由于不高于n次的多项式不可能有n+1个根, 因此h(x)只能是零多项式.故 qn(x)=pn(x).; 但遗憾的是方程组(3)是病态方程组,阶数n越高，病态越严重。;第二节 Lagrange插值;;令 L2(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 + l2(x)y2 要求 l0(x)，l1(x)，l2(x)是二次多项式，且满足; l0 (x)含有 x-x1 , x-x2 两个因子， 令 l0 (x)=λ(x-x1)(x-x2) 利用 l0 (x0)=1 确定其中的系数λ，得到：;类似的可以得到 l1(x), l2(x);令 Ln(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 +… +ln(x)yn 求n 次多项式 lj(x) ,(j=0,1,…,n)使其满足条件;容易求得; ;实际应用：; 例1 已知函数y=f(x)在x0=-1,x1=0,x2=2处的值分别为y0=0,y1=1,y2=3,则经过点(-1,0),(0,1),和(2,3)的多项式为 ;定理2: 设Ln(x)是过点x0，x1，x2，…，xn的f(x)的n 次插值多项式，f(x)∈Cn+1[a,b]，其中[a,b]是包含点x0 ，x1 ，x2 ，…,xn的区间，则对任意给定的x?[a,b]，总存在一点??(a,b)（依赖于x）使 ;证明: 显然 Rn(xi ) =f(xi)-Ln(xi)=0 , i=0,1,…,n, 现在任意固定一点 x∈ [a,b], x≠xi (i=0,1,…,n), 设 Rn(x)=K(x) ?n+1(x), ;因为?n+1(t)是n+1次多项式， ?n+1(n+1)(t)=(n+1)!,又因为Ln(t)是次数为n的多项式,因此Ln (n+1)(t) = 0 。这样，由(*)式便有 ;上式称为带余项的Lagrange插值公式,只要f(x)具有n+1阶导数,就有上式成立,其余项为 ; 应当指出，余项表达式只有在 f(x) 的高阶导数存在时才能应用。? 在（a，b）内的具体位置通常不可能给出，如果我们可以求出; 例2: 已给sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36=0.352274, 用线性插值及抛物插值计算 sin0.3367 的值并估计截断误差。;其截断误差得;其截断误差为 ;用抛物插值计算 sin0.3367时，可得;其截断误差得;例5 要制作三角函数sinx的值表，已知表值有四位小数，要求用线性插值引起的截断误差不超过表值的舍入误差，试确定其最大允许的步长。; 我们采用误差后验估计法，对给定 插值节点，比较两个多项式Pn(