[理学]深圳大学高等数学A2补充题答案及自测题答案.docVIP

§7—1 1．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ 　第IV卦限 　　　第V卦限 　第VIII卦限 第III卦限． 2． 证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形． 证明：如图所示 与平行且相等，结论得证． 3．已知两点和,计算向量的模，方向余弦和方向角以及平行于向量的单位向量． 解： 方向余弦：，，． 方向角：，，． 平行于向量的单位向量是． 4．设,,,求在轴上的投影及在轴上的分向量． 解：因为 　　　　　 所以在轴上的投影为．　在轴上的分向量为． §7—2 1．已知，和，求同时与，垂直的单位向量． 解：，， 设所求向量为，因为，所以　 因为，所以　， 因为，所以 求得，， 故所求单位向量为 方法二：所求向量 故 2．设，，问与有怎样的关系能使与轴垂直． 解： 　　因为与轴垂直，所以． 3．设，，其中，，且． (1) 为何值时，； (2) 为何值时，与为邻边的平行四边形面积为6？ 解：(方法一) 设，， 由题意已知，， ， (1) 已知， 所以 求得　． (2) 根据题意，，得，或． (方法二) (1) ， . (2) ， . §7—3 1．一动点与两定点和等距离，求这动点的轨迹方程． 解：设动点坐标为，根据题意，有 等式两边平方，然后化简得 ． 2．求以点为球心，且通过坐标原点的球面方程． 解：设球面上点的坐标为，根据已知条件，得 整理得　． 3．画出下列方程所表示的曲面： (1) ； 解：椭球抛物面 (2) ； 解：圆锥面 (3) ． 解：旋转抛物面 §7—4 1．画出下列曲线在第一卦限内的图形： (1) ； 解： (2) ； 解： (3) ． 解： 2．方程组在平面解析几何与空间解析几何中各表示什么？ 解：在平面解析几何中，表示椭圆与直线(其实是过点(0,3)的一条切线)的交点；空间解析几何中，表示椭圆柱面与其切平面的交线(直线). 3．求由上半球面，柱面及平面所围成的立体，在面和面上的投影． 解：想象该立体的形状，知向面上的投影柱面的方程为，即为圆柱面，故该立体在面上的投影为圆面： ． 消去：，在面上的投影是 柱面在面上的投影是 故在面上的投影是. §7—5 1．求通过点且与平面平行的平面方程． 解：设所求平面方程为，因为过点，所以 ，得， 故所求平面方程为 2．求过点且与连接坐标原点及点的线段垂直的平面方程． 解：由条件 与平面垂直， 所以，所求平面方程为， 即． 3．求平面与各坐标面的夹角余弦． 解：与平面的夹角余弦为 　　与平面的夹角余弦为 　　与平面的夹角余弦为 §7—6 1．求过点且平行于直线的直线方程． 解：设所求直线为， 直线的方向向量为，则直线的方向向量为， 故所求直线方程为． 2．求过两点和的直线方程． 解：所有直线过点，两点，则，故可取，即 所以所求直线方程为：，即． 3．求点在平面上的投影． 解：过点且垂直于平面的直线方程为，代入平面方程中， ，得，代入直线的参数方程，得，，，即投影点为． 第八章 多元函数微分法及其应用 §8-1 1.求函数的定义域. 解：要使函数有意义，须，且 即, 或 2．求极限： 解：(方法一) (方法二) . §8-2 1．设求一阶偏导数. 解： 2．设，求偏导数及 解： §8-3 设，求. 解： §8-4 设，求. 解：令 则 2. 设，其中，求. 解：令则 §8-5 1．设，求. 解：设则 由隐函数存在定理，得 2．设可微，，证明由所确定的函数满足方程. (方法一) 证明：设 则 由于，于是，由隐函数存在定理，得 从而， 证毕. （方法二） 证明：方程两边分别对,求导：（注意） 对求导： 对求导： 从而满足方程. §8-6 1．求曲线在点处的切线方程，并问该切线与轴的正向所成的角度是多少？ 解：(方法一) 设 于是，曲线在点处的切向量为 ∴切线方程为： 即： 另外，轴上的单位向量为.由两向量夹角余弦公式得：. ∴切线与轴的正向所成的角度是 (方法二) 设切向量 所以切线方程为 ： 即： 另外设该切线与轴正向所成角为，则代入点，所以. 2．证明曲面的切平面与坐标面所围成的四面体的体积为一个常数. 证明：设 则 于是，曲面在它上面任意一点处的切平面方程为： 即 易知，该切平面在轴上的截距分别为： 则，切平面与坐标面所围成的四面体的体积为