[理学]中科大光学习题解答.doc

几何光学 【2.1】光线以入射角射到折射率为的物体上，设反射光与折射光线成直角，问入射角与折射率之间的关系如何？ 解：，而，，即。 【2.2】把一片玻璃板放在装满水的玻璃杯上，光线应以什么样的角度射到玻璃板上才能够在玻璃板和水的分界面上发生全反射？玻璃的折射率为1.5，水的折射率为1.33 能接收到这束全反射光吗？ 解：发生全反射时，光线从玻璃向水的入射角应满足 。 此时若从空气到玻璃板入射，入射角应满足，即。 由于，所以上述情况不可能发生。 【2.3】红光和紫光对同种玻璃的折射率分别是1.51和1.53。当这些光线射到玻璃和空气的分界面上时，全反射的最小角度是多少？当白光以41o的角入射到玻璃和空气的界面上时，将会有什么现象发生？ 解：由于，所以 ，。 以41o角入射，则紫光全反射；而红光大部分透射，仅有少部分发生反射。 【2.4】如图，以光线射入镜面间并反射次，最后沿入射时的光路返回，试写出与间的关系表达式。 解： 最后的反射之后，其对另一镜的入射角应为0。最后（第n次）的反射角为，第n-1次的反射角为。相邻的两次反射间，有关系式，，即。 则。 【2.5】证明：当一条光线通过平板玻璃时，出射光线方向不变，只产生侧向平移。当入射角很小时，位移。其中，n为玻璃的折射率，t为玻璃板的厚度。 证：如图，由于上下两面平行，且两侧折射率相等，所以在下表面的入射角等于上表面的折射角，下表面的折射角等于上表面的入射角。出射光线保持平行。 ，在小角度时，有，， 则，即 【2.6】如图，一条光线通过一顶角为的棱镜。（1）证明出射光线相对于入射光线的偏向角为；（2）证明在时，有最小偏向角，而且，，式中n为棱镜材料的折射率，在已知的情况下，通过测量，利用上式可以算出棱镜材料的折射率；（c）顶角很小的棱镜称为光楔，证明对小角入射光楔产生的偏向角为 证：（1）由于棱镜两侧面及其法线所构成的四边形中有一对直角，则， 而 （2）上式对求导数，有，当该导数为0时，取得最小偏向角。 而由折射定律，，微分，得到 ，， 即，只有才能成立。即，而。所以 (3) 如果顶角很小， ，可得 【2.7】顶角为500的棱镜的，如果浸入水中，最小偏向角等于多少？水的折射率为1.33。 解：可得棱镜的折射率。浸入水中时，入射角为，而满足最小偏向角时，，则，， 【2.8】附图是一种求折射线方向的追迹作图法。例如为了求光线通过棱镜的路径，（如图b所示），可如图a以O为中心做二圆弧，其半径正比于折射率。作OR平行于入射线DE，作RP平行于棱镜第一界面的法线N1N1，则OP的方向即为第一次折射后光线的方向。再作QP平行于第二界面的法线N2N2，则OQ的方向即为出射线FG的方向，从而即为偏向角，证明此法的依据。 证：如图所示，从圆心O向棱镜的界面法线做垂线OM、OT，根据作图方法，可知，而，，即，由折射定律，为第一界面的折射角。即OP为第一界面的折射线。。又，由折射定律，，于是。 【2.9】组和波罗棱镜由两块450角直角棱镜组成，利用两块直角棱镜的四个直角面上产生的全反射，使像倒转于凸透镜成实像的情况一致，试证明之。 证：如图。 【2.10】极限法测液体折射率的装置如附图所示，ABC是直角棱镜，其折射率已知，将待测液体涂一薄层于其上表面AB，再覆盖一块毛玻璃。用扩展光源在掠入射的方向上照明。从棱镜的AC面出射的光线的折射角将有一个下限。如用望远镜观察，则在视场中出现有明显分界线的半明半暗区。证明待测液体的折射率可以由下式算出：。用这种方法测量液体的折射率，测量范围受什么限制？ 证：由于液体的折射率，则有，而。 ，由于是掠入射，在明暗区的边界，，故有，即。 测量时，要求。 【2.11】光从塑料棒的一端射入，若要保证射入的光总是在棒内全反射传播，其折射率至少是多大？ 解：，要发生全反射，，而可以取到，则，即，。 【2.12】在圆形木塞中心垂直插入一大头针，然后将其倒放浮于水面上，调节大头针露出的长度，使观察者从水面上无论何种角度都恰好看不到水下的大头针。如果测得大头针露出木塞得长度为h，木塞直径为d，求水的折射率。 解：此时大头针顶发出的光线恰好发生全反射。即，而，得到 【2.13】如图所示，一束光线以入射角射入折射率为n的球形水滴，求：（1）此光线在水滴内另一侧球面的入射角，这条光线是被全反射还是部分反射？（2）偏向角的表示式；（3）偏向角最小时的入射角。 解：（1）由反射定律及球面的对称性，，，由于，只有入射光对准球心入射时，才能发生全反射。 （2），取极大值即可。而等于圆心角，等于入射光线与水平直径间的夹角，对准球心入射时为极大值。即入射角。 【2.14】水槽中盛水，深20cm，底部有一光源，水面上放一不透光纸片。要使从水面上任何角度都看不到光源，纸片的形状和面积应怎样？ 解：纸片应该