[理学]b42分析2线性方程组直接解法2.pptVIP

第三 章 线性方程组 直接解法(下） 第三章目录 §5 Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆 Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆（续1） Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆（续2） Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆（续3） Gauss-Jordan消元法求逆阵(续4) Gauss-Jordan消元法求逆阵(续5) Gauss-Jordan消元法求逆阵(续6) Gauss-Jordan消元法求逆阵(续7) Gauss-Jordan消元法求逆阵(续8) Gauss-Jordan法求逆阵的具体步骤 Gauss-Jordan法求逆阵的具体步骤（续） Gauss-Jordan法求逆阵举例 §6 方程组的性态与条件数 6.1 向量与矩阵的范数 常用的向量范数 对2范数 Rn中范数的等价性 向量的误差 矩阵范数 常用的矩阵范数 常用的矩阵范数（续） 最大行和矩阵范数的证明 最大行和矩阵范数的证明（续） 范数的相容性 求范数举例 6.2 舍入误差的影响及算法的稳定性 6.3 方程组的性态和条件数 方程组的性态和条件数（续1） 方程组的性态和条件数（续2） 方程组的性态讨论 ——病态、良态 方程组的性态讨论 病态良态（续） 方程组的性态讨论（续2） 方程组的性态讨论（续3） 方程组的性态讨论续（3） 方程组的性态讨论续（4） 矩阵的条件数 判断病态矩阵的几点参考 利用条件数判断矩阵的性态举例 第三章 结 束 定理3.1存在性证明 定理3.1唯一性证明 在许多实际问题中，线性方程组的系数矩阵和 右端项的元素大多为前面计算的结果，因此上述 例中的微小误差是避免不了。而对上述例中的方 程组，无论用多么稳定的算法求解，计算中产生 的微小误差就使解面目全非，所以这些方程组的 性态是很差的。 当方程组Ax = b的系数矩阵与右端向量b的微 小变动（小扰动）而引起解严重失真时，称此方 程组为病态方程组，其系数矩阵A称为病态矩阵， 否则称为良态方程组，A称为良态矩阵，为了定量 刻画方程组“病态”的程度，下面对方程组Ax = b在 系数矩阵A及右端项b有扰动的几种情形进行讨论。 此不等式表明，当右端项有扰动时，解的相对误差不超过b的相对误差的 倍。 首先考察右端项b的扰动对解的影响，设b有扰 动?b，A为准确,记引起解x的扰动为?x, 即： 当b为精确的而A有微小扰动?A时，在?A充分小时也同样可推得： 紧接下屏讨论： 而当A,b同时有微小扰动?A，?b时，则可进一步导出更一般的误差估计式： 注意到： 在?b充分小时， 此式右端实际上即为： 在三种情况下得到的这三个不等式反映了解的相对误差与A及b的相对误差的关系；数||A||||A-1||越小，解的相对误差也越小；反之数||A||||A-1||越大，解的相对误差也越大，实际上这个数反映了解对方程组原始数据的敏感程度，揭示了矩阵A和方程组本身的性态，称之为方程组或矩阵A的条件数，记作： cond(A)越大，A的病态程度越严重。至于cond(A)多大才 算病态，这是一个相对概念，没有一个严格的数量界限。 求条件数要计算逆阵的范数，很不方便，如下一些现象可作为判断病态矩阵的参考。 （1）在用主元消去法时消元过程出现小主元（如例12） （2）矩阵A中元素间数量级相差很大； （3）A的行列式det(A)满足（行列式值相对很小） ： （4）矩阵的某些行（或列）近似相关（如例11）。 的特例，它是典型的“病态”阵，n越大，“病态”越严重， 如n=6时，cond(A)=29×106，对严重“病态”的方程组，即 使用主元素法求解也难以保证数值稳定性。 A的条件数很大，所以方程组是病态的。 * §1. Gauus 消元法 §2. 主元素法 2.1 引入主元素法的必要性 2.2 列主元素法 2.3 全主元素法 2.4 解三对角方程组的追赶法 §3. 矩阵分解法 3.1 Gauss消去法的矩阵形式 3.2 矩阵的三角分解 3.3 直接三角分解法 §4. 平方根法与改进的平方根法 §5. 矩阵求逆 §6.方程组的性态和条件数 Gauss消元法有许多变形，列主元素法是其中之 一，在列主元法的基础上还可对算法进行如下的 修改：在消元过程中选主元后，先将主元化为1， 然后将主元所在列上，下方各元素均化为0，这样 消元的结果使系数矩阵化为了单位阵，无需回代 就得到了原方程之解，这种无回代过程的列主