[理学]6-3实对称矩阵的相似对角化.pptVIP

一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质 二、正交矩阵及施密特正交化方法 * * §6.3 实对称矩阵的 相似对角化 定理1　实对称矩阵的特征值为实数. 证明 于是有 两式相减，得 定理1的意义： 证明： 于是 推论 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 定理3 实对称矩阵A的k重特征值必定对应k个线性无关的特征向量. 定义1 1、正交矩阵的概念与性质： 上式中A用其列向量 表示，即 　　 为正交矩阵的充要条件是 的列向量都 是单位向量且两两正交． 结论： 如果将A用行向量表示，则 可写为 则可得出如下结论： 正交矩阵的 n 个行（列）向量构成n维向量空间 的一个正交规范基. 为正交矩阵的充要条件是 的行向量都是 单位向量且两两正交． 例1 验证矩阵 是正交矩阵. 解: 由定义 可知 Q 为正交矩阵. 或者 由于 Q 的行（列）向量都是单位向量， 且两两正交，故 Q 为正交矩阵. 2、施密特(Schmidt)正交化方法: 定理5 设 是一组线性无关的向量 组，则可以找到一组正交的向量组 使得向量组 与 等价. 证明： 首先，令 即 从而求出 再令 满足 再令 及 可求出 一般地,由 求出 的公式为 以上求等价正交向量组的方法称为施密特( Schmide )正交化方法. 由以上公式的构成可知向量组 两两正交，且 都可由 线性表示，反之 也都可由 线性表示，所以,两向量组等价。 将所求正交向量组单位化： 从而可以进一步得到与 等价的正交规范向量组 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵. 解 (1)第一步 求 的特征值