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第20章 振 动 本章主要内容 §20-1 简谐运动的描述 §20-2 简谐运动的动力学方程 §20-3 简谐运动实例 §20-4 简谐运动的能量 §20-5 阻尼振动 §20-6 受迫振动 共振 §20-7 简谐运动的合成 §*20-8 谐振分析 §20-1 简谐运动的描述 §20-2 简谐运动的动力学方程 §20-3 简谐运动实例 §20-4 简谐振动的能量 §20-5 阻尼振动 §20-6 受迫振动 共振 §20-7 简谐运动的合成 §20-8 谐振分析 2） 1） 个矢量依次相接构成一个闭合的多边形 . 讨论 3） 次极大 （多光束干涉的理论基础） 特例 1） 主极大 2） 极小 三 两个同方向不同频率简谐运动的合成 频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍. 合振动频率 振幅部分 讨论 , 的情况 方法一 合振动频率 振幅部分 振幅 振动频率 拍频（振幅变化的频率） 方法二：旋转矢量合成法 （拍在声学和无线电技术中的应用） 拍频 振幅 振动圆频率 例题： 有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为 1) 求它们的合振动方程；2) 另有一同方向的简谐振动 问当?3为何值时，x1+x3的振动为最大值？当?3为何值时，x1+x3的振动为最小值？ 解：1) 两个振动方向相同，频率相同的简谐振动合成后还是简谐振动，合振动方程为 所求的振动方程为 2) 四 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 质点运动轨迹 1） 或 （椭圆方程） 讨论 2） 3） 用旋转矢量描绘振动合成图 简谐运动的合成图 两相互垂直同频率不同相位差 五 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成 测量振动频率和相位的方法 李 萨 如 图 Analysis on Harmonic Vibration §1-8 谐振分析 实际应用中也存在许多周期信号（方波、锯齿波等），振动函数表现为时间周期为 T 的周期函数： 利用傅立叶展开，这样的周期函数可以表示为频率成倍的各简谐振动的叠加，即 其中 如果有周期函数 f(x)，周期为2?，即 则函数 f(x)可以表示成它的傅立叶展开式： 解法二 起始时刻 时刻 Examples on Harmonic Motions §1-3 简谐运动实例 弹簧振子的固有（圆）频率不受系统放置的影响。 1. 弹簧振子 §20-1、§20-2已介绍水平放置的弹簧振子。 考察悬垂的弹簧振子： 以平衡位置为坐标原点O，则 x0为平衡时弹簧的伸长量 §1-3 简谐运动实例 2. 单摆 simple pendulum 取角坐标 ，规定逆时针方向 。 很小时 ，有 ，且 为摆幅 解得 结论：单摆在摆幅很小的情况下为简谐运动。 小振动——振幅很小的振动。 小球线度 v0 (a) v0 (b) v0=0 (c) 例：在t=0时，周期为T、振幅为A的单摆分别处于图(a)、 (b)、 (c)三种状态，若单摆平衡位置为坐标原点，坐标指向正右方，则单摆做小角度摆动的振动表达式（用余弦函数表示）分别为： §1-3 简谐运动实例 铅垂线 3. 复摆（物理摆） physical pendulum 结论：复摆在摆幅很小的情况下为简谐运动。 取角坐标 ，规定逆时针方向 。 悬挂点O与质心C的距离为 小振动 由转动定律 准弹性力——力与位移（或角位移）正比且反向。 单摆 复摆 1）简谐振动表达式 从对象的运动规律出发 （电学规律 力学规律等） S.H.V.的标准形式 小结 2）动力学方程 S. H. V. （simple harmonic vibration）的判据 大象 25~30 马 40~50 猪 60~80 兔 100 松鼠 380 鲸 8 动物的心跳（次/分） 昆虫翅膀振动的频率（Hz） 雌性蚊子 355~415 雄性蚊子 455~600 苍 蝇 330 黄 蜂 220 Energy of Simple Harmonic Motion §1-4 简谐振动的能量 本节以弹簧振子为例，讨论简谐运动的能量。 结论：简谐运动的总能量不随时间改变，即机械能守恒。 动能： 势能： 总机械能： §1-4